数学系第三学期数学分析期末考试题及答案_数学分析期末考试题

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第三学期《数学分析》期末试题

一、选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（）

A充分条件B必要条件C充分必要条件D 无关条件

2、f(x,y)x

|(x0,y0)（）

Alim

f(x0x,y0y)f(x0,y0)

x

x0

；B lim

f(x0x,y0)

x；

x0

Clim

f(x0x,y0y)f(x0x,y0)

x

x0

；Dlim

f(x0x,y0)f(x0,y0)

x。

x03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微；B f(x,y)在（x0，y0）连续；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、f(x,y)

xy

xy(xy)的二重极限和二次极限各为（B）

A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。

x5、设zey，则x

zx

y

zy

（A）

A、0；B、1；C、-1；D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）





1、证明函数f(x,y)



xyxy0

2xyxy

00

在（0，0）点连续且可偏导，2

但它在该点不可微；

xx

f(x)

2、设

e

0t



2ddt,求f(x),f(x)；

zxyz

F,03、设有隐函数zz,其中F的偏导数连续,求x、y；

4、计算C的光滑曲线；

e(cosydxsinydy)

x，其中C是任一条以为A(0,0)起点、B(a,b)为终点

5、计算



zdS

zxy，其中为在2

2z

4的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分(yz)dx(zx)dy(xy)dz与路线无关，并求被积表达式的L

原函数；



2、说明对任意

3、验证函数

0,e

(x)

sintdx关于t(0,)

均一致收敛；

2xy2

2,xy022

f(x,y)xy

220,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数x或y(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.xyz0

33

3xyz10

四、（11分）求由方程组确定的隐函数yy(x),zz(x)在点P(1,1,2)

处的一阶导数。

部分题目参考答案：

二、1、证明：0|

xyxy

|0x

xy|（4分）

(x,y)(0,0)

lim

xyxy

=0所以函数在（0，0）

点连续，（3分）又lim

xyxy

x0

0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

(x,y)(0,0)

lim不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

二、2、解

xx



xx



x

由于f(x)(e

x

d)dt,f(x)

(e

t

d)dt00

'x

e

x

dtxe

x，所

t

x

以 f(x)tedt

t

2e

t

d(t)

x

e

t



e

x



.二、3、[解法 1]由隐函数、复合函数求导法

F1



'

1

zF

1'

'

'

zx

xy''

F12F22zz

1xF1yF

2zF2

'

'

'

zy

F2



'

'

yx'

F12F22zz



xF1yF2

[解法 2]利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

dz

xyzdxxdzzdyydz''''

F1dF2d0F1F0222

zzzz，zF1dxzF2dyxF1yF2

'

'

'

'

z，故

x



zF1

'

'

'

zy

xF1yF2



zF2

'

'

'

xF1yF2

.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.Y

X

二、4、解令X=

ecosy

x，Y=

esiny

x，则

x

x

=y=esiny,故被积表

=

e(cosydxsinxdy)

x

x

达式知

e(cosydxsinxdy)

x

一定有原函数，注意到

d(ecosy),xx

u(x,y)=ecosy 是e(cosydxsinxdy)的一个原函数，故由定理21.13，有



C

e(cosydxsinydy)

x

=

ecosy|(0,0)

x(a,b)

a

=ecosb1.二、5、解曲面在x0y平面上的投影区域

Dxy

12

2(x,y)xy

2，而

zx

2x,zy

2y，于是曲面的面积微元

dS

2



所以





zdS



Dxy

(xy





20

d



r

（在极坐标系下计算）



81

2



(r



t)



uu)du

(u.Py

Qx

Qz

Ry

Rx

Pz

三、1、解由于Pyz,Qzx,Rxy,所以曲线积分与路线无关.现在求 u(x,y,z)

1,

M0M

(yz)dx(zx)dy(xy)dz.取M0M为沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y轴的直线到

M2(x,y,z0)，最后沿平行于z轴的直线到M(x,y,z).于是

y

xz

u(x,y,z)

(y

x0

z0)ds

(z

y0

x)dt

(xy)dr

z0

(y0z0)x(y0z0)x0(z0x)y(z0x)y0(xy)z(xy)z0 xyyzxzc

其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M

u(x,y,z)xyxzyz.为原点，则得

x1时e

(x)

sinte

(x)

e



1e

x

e

x

1x

,又

三、2、解当

x

收敛，所



(x)

以

e

sintdt

关于t(0,)一致收敛.而积分0



e

(x)

sintdt

是定积分，所以

e

(x)

sintdx关于t(0,)

一致收敛.2xyxy

yR,xR,分别有limf(x,y)lim

三、3、证明

limf(x,y)lim

y0

x0x0

0f(0,y)，与

2xyxy

y0

0f(x,0)，即f(x,y)在原点（0，0）分别对x或y都连续 2xy

2x2x

2limf(x,y)lim

当xy时，却有

x0

y0x0y0

xy

lim

x0

10f(0,0)，即f(x,y)在原点（0，0）不连续（其实f(x,y)在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.四、解方程两边对x求导有

1y(x)z(x)0(1)

222

3x3yy(x)3zz(x)0(2)

(1)3z

(2)有:y(x)

zz

xy

z(x)

xyzy

222，代入（1）有：，所以

y(1)1，z(1)0.

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