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用尺规作出双心四边形的另一种方法
高二（14）班
徐智为
双心四边形定义：既有内切圈又有外接圆的四边形。
熟知的一种做法是，先做一圆，找任意垂直二弦，交圆于四点，作四点关于此圆切线即可得双心四边形。
这里笔者依据Newton定理给出另一种尺规作法。
Newton定理：圆外切四边形两条对角线以及两组对边切点的联线共点。HD简证：只须证AC、HF、EG三线共点定义P1为AC、FH交点 P2为EG、AC交点则AP1H=CP1F，AHP1+CFP1=180°不妨称AP1H与CP1F互为“伪相似”AHCF由正弦定理知，=.....(1)AP1CP1同理有AEP2与CGP2伪相似，AECG=.....AP2CP2(2)AP2CP2(1)/(2),得=，由点P1、P2均在AP1CP1AC上知P1、P2重合，于是三线共点AEP1P2GBFC
另一种作法：在△ABC中，作内切圆，圆心为I，圆与三边切点分别 是点D、E、F，作DG⊥EF于点G，射线BG，CG分别交边AC，BC于点I、H，则四边形BHIC即为双心四边形。如下图所示：
AIHFIEG圆心BDC
证明：线段BI、CH、EF共点，由Newton定理知四边形BHIC为双心四边形。
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