初中二次函数的解题小技巧_二次函数的解题技巧
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初中二次函数的解题小
技巧
【关键词】： 二次函数 题型 解题思路
函效在中学教学中占有重要地位,它与生产、商品经济、等又有广泛联系。学生普遍认为函数难学，特别是二次函数，但是二次函数在中考一直占据着压轴题的“席位”，很多考生在这方面都会失分严重，教学过程中，作为教师必须深刻洞悉函数的内涵，把难点突破，让学生从一开始就接受到严谨的概念和思想。下面我通过具体课例分析函数教学中常考的题型和大家分享： 一.求二次函数解析式。
(1)当出现任意三个点坐标的时候，直接代入一般形式y=ax+bx+c构成方程组，可确定a,b,c的值
例析： 已知抛物线y=ax+bx+c经过（-1，10），（1,4），（2,7）三点，求这条抛物线的解析式。
解：设所求二次函数为y=ax+bx+c，由己知图象经过（1，10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的三元一次方程
a-b+c=10 a＝2 a+b-c=4 解这个方程组得 b＝-3 2a+2b+c=7 c＝5
22所求解析式为y=2x-3x+5(2)当出现顶点坐标(h，k)和另一个点坐标时，就用代入顶点式：y＝a(x-h)+k可确定a,h,k的值.例 二次函数图象的顶点为A（1,-4）且过点,B（3,0）, 求该二次函数的解析式.例析：设所求二次函数为y＝a(x-h)+k ∵顶点为A（1,-4）, 则h＝1，k＝-4 ∴y＝a(x-1)-4 又∵抛物线过点B（3,0）, 则0＝a(3-1)2-4, 即a＝1 ∴所求二次函数为y＝(x-1)-4(3)当出现二次函数图象与X轴两个交点坐标(X1，0)(X2，0)和另一个点坐标的时候，用交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)式。可确定a的值.例 已知二次函数图象与X轴的交点坐标为（3,0）和（-1,0），且过点，（1，-8，）求该二次函数的解析式。例析：设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2), ∵图象与X轴的交点坐标为（3,0）和（―1,0），∴y=a(x-3)(x+1), 又∵抛物线过点（1，-8，）∴-8=a(1-3)(1+1), 则a＝2 该二次函数的解析式为y=2(x-3)(x+1), 即y=2x-4x-6 二.二次函数图像的性质
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1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x =-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。
3.抛物线与a,b,c的值的关系： a值决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。a,b值共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右； 当b=0时对称轴是y轴。c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）(c>0交y轴正半轴，c
Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点,(X1，0).(X2，0)；则对称轴为X=x1+x2 /2 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。(X，0)； Δ= b-4ac
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例己知二次函数y=x-kx+k-5，求证：无论k取任何实数, 此二次函数的图象与x轴有二个交点。证明：∵（-k）-4（k-5）=k-4k+20 =（k-2）+16 无论k取任何实数,（k-2）≥0 ∴（k-2）+16＞0 所以无论k取任何实数, 此二次函数的图象与x轴有二个交点。
5.二次函数图像的平移 左加右减，上加下减原则
例 抛物线y＝2(x-3)+4向左平移1个单位, 向下平移2个单位后的解析为y＝2(x-2)+2 6.二次函数中的最值问题（1）在一般形式y=ax+bx+c 中
若a>0, 当 x=-b/2a。时 , y有最小值4ac-b /4a 若a0, 当 x=h时 , y有最小值k 若a
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元，每星期可多卖岀20，在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
例析：（1）.y＝（60-40-X）（300+20X）即.y＝-20X+100x+6000 ∵降价要确保盈利，则40
特别地，二次函数y=ax+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），22
即ax+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
四.变式训练：即二次函数的综合题, 是中考的压轴题.中考的压轴题一般都综合性强、难度大，是在较复杂的知识背景中考查学生运用数学思想方法合解决数问题的能力，破解中考的压轴题，审题时首先要有信心和耐心地逐字逐句地读，并做出相应的记号、并联想相关知识，着重研究它们之间的关系，解题实践表明：题目中的条件往往暗示解题手段，结论往往预告解题方向。从已知中努力追忆曾出现过类似的题目，提取出与本问题有关的知识，各知识点之间联系和数学思想方法，抓住题意，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
例 ．如图，在直角坐标：X OY 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，-)，且在 轴上截得的线段AB的长为6． 2(1)求二次函数的解析式；
(2)在 轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考文献：
1．《初中数学总复习50课》/中考备考研究中心组编、―南宁：接力出版社，2012.2.义务教育课程标准实验教科书、.数学（九年级）（下）.人民教育出版社，2012 3.曾辉玉, 中考数学压轴题的解题技巧、数学教学研、2012（2）
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