六年级经典数学题解析_六年级经典数学题解析

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归一问题教案 教学目标：

1.让学生初步了解归一化问题，并掌握解决正归一问题，反规一问题的方法。2.通过老师讲解，使学生掌握分析归一问题的方法。3.熟悉并掌握归一应用题的解题步骤。

教学重点：会分析归一应用题，使之转化为数学问题，并运用数学方法解决。教学难点：反归一问题的计算。教学过程：

归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？ 正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量； 不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

学习例1 ： 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

集体讨论：一只小蜗牛6分钟爬行12分米，那么蜗牛一分钟爬行多远？

分析与解答：

为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小时爬几米？1小时=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：小蜗牛1小时爬行12米。

小结

还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6

分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解。

解：1小时=60分钟

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）

答：小蜗牛1小时爬行12米。

学习例2：

一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？

集体讨论：加工厂一小时磨多少千克面粉？ 分析与解答： 方法1：

通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）

答：磨完剩下的面粉还要7小时。

方法2：用比例关系解。

解：设磨剩下的面粉还要 x 小时。

6000x＝3×14000 x=7（小时）

答：磨完剩下的面粉还要7小时。

学习例3：

学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

分析与解答

要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球

各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。

解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）=37元

②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）

③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）

答：买5个足球，4个篮球共花308元。

学习例4：

一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满； 单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？

分析与解答

要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。

解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）

②排水速度：480÷6=80（吨/小时）

③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）

列综合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）

答：两管齐开需24小时把满池水排空。

学习例5： 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？

分析与解答：

方法1：

要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。

解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（吨）

② 560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？

560÷5＝112（吨）

③需要增加同样的卡车多少辆？

112÷8-7＝7（辆）

列综合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）

答：需增加同样的卡车7辆。方法2：

在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式： 336÷6÷7 ①，336÷7÷6.② 算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：

求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了。

学习例6：

某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？

分析与解答：

我们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。

解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：

8×18×7.5=1080（工时）

②增加6人后每天工作几小时？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）

③每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）

答：每天要加班工作3.25小时。平均数问题教案 教学目标：

1：认识什么是算数平均数、加权平均数、调和平均数和基准数平均数。2：学会解决平均数问题的方法，理解平均数的意义。

教学重点：如何解决复杂平均数问题，弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系。教学难点：如何让学生把握理解复杂平均数应用题的技巧与方法。教学过程：

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。

解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以

它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

一、算术平均数

学习例1：

用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

集体讨论：这是很简单的一道题，大家试着自己解答一下。

分析与解答：

求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）

答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

学习例2：

蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

集体讨论：你能在这几个平均数中发现什么？

分析与解答：

解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。

解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）

②语文： 89-10=79（分）

③政治：86×2-89＝83（分）

④数学： 91.5×2-83＝100（分）

⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）

答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100

分、94分。

二、加权平均数

学习例3：

果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？

分析与解答：

要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。

解：①什锦糖的总价：

4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）

②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克）

③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）

答：混合后的什锦糖每千克5.74元。

我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。

三、连续数平均问题

我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。

学习例5：

已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。

分析与解答：

已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。

解：①每组数之和：144÷4=36

②中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19 ③中间两个数中较小的一个：19-2=17

∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。

答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23和25。

四、调和平均数

学习例6：

一个运动员进行爬山训练.从 A地出发，上山路长11千米，每小时行4.4千米.爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行5.5千米.求这位运动员上山、下山的平均速度。

分析与解答：

这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。

解：①上山时间： 11÷4.4=2.5（小时）

②下山时间：11÷5.5=2（小时）③上下山平均速度：112（2.5+2）=4答：上下山的平均速度是每小时4我们打

48（千米）98（千米）98千米叫做4.4千米和5.5千米的调和平均数。9

五、基准数平均数

学习例7：

中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少 个？

分析与解答：

从他们每人跳绳的个数可以看出，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其

中一个数90做为基准数，再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数，如93＝90+3，3作为加数；小于基准数的差作为减数，如 87=90-3，3作为减数.把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计差，再除以和数的个数就可以算出结果。

解：①跳绳总个数。

93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89 =90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）

=1350+19-19 =1350（个）

②每人平均每分钟跳多少个？

1350÷15=90（个）

答：每人平均每分钟跳90个.工程问题教案

（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：

工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可

工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？

分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效

例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？

分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

答：甲队干了12天。

例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？

分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？

分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。

答：甲再出发后15分钟两人相遇。

工程问题教案

（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。

例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？

分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）

甲、乙合做这一工程，需用的时间为

例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后

么还要几天才能完成？

分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作

们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独

例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？

分析与解：同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一

例5 某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？

分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是

例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流

件工作，要用多少天才能完成？

分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

由最后一轮完成的工作量相同，得到

比和比例教案

比的概念是借助于除法的概念建立的。

两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。

比值。

表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。

两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因为[6，4]=12，所以

5∶ 6=10∶ 12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

解： 7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2 六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。

分析与解：原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出

女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。

在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。

分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。

在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例3中，总份数是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千克分别乘以1，2，12，就可以求出各个分量。

例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率

有多少学生？

按比例分配得到

例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6，小客车

与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。

分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。

由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。

以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过

大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。

巧用单位“1”教案

在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。

分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位

答：这本故事书共有240页。

分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，22

看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的共有多少本图书？

分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。

本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以

图书室原来共有图书

分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。

例5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？

分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿

可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的两班各有多少人？

乙班有84-48=36（人）。

圆柱与圆锥教案

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

例1 如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）

分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

时桶的容积是

桶的容积是

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？

分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶

中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

解：皮球的体积是

水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。

答：水面升高了0.5厘米。

例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

解：被熔的圆锥形铝块的体积：

被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米3）。

熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷（π×152）=21600π÷225π=96（厘米）。

答：熔铸成的圆柱体高96厘米。

1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？

2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？

3.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？

容器高度的几分之几？

5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。

6.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。

时间问题教案

同学们都知道，任何一块手表或快或慢都会有些误差，所以手表指示的时刻并不一定是准确时刻。这一讲的内容是与不准确时钟有关的时间问题。这类题目的变化很多，无论怎样变，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多

少个单位时间，就可求出这一时间段内的误差。

例1 肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点整时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？

分析与解：因为这个闹钟走得慢，所以响铃时间肯定在5点55分后面。，闹钟走595分相当于标准时间的31

响铃时是标准时间的6点整。

例2 爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时针再次指示8点时，实际上是几点几分？

分析与解：由上一讲知道，时针与分针两次重合的时间间隔为

所以老式时钟每重合一次就比标准时间慢

时钟24时重合多少次呢？我们观察从12点开始的24时。分针转24圈，时针转2圈，分针比时针多转22圈，即22次追上时针，也就是说 24时正好

例3 小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？

分析与解：由时钟的特点知道，每隔12时，时针与分针的位置重复出现。所以快钟和慢钟分别快或慢12时的整数倍时，将重新显示标准时间。

快钟快12时，需经过

（60×12）÷20＝36（天），即快钟每经过36天显示一次标准时间。慢钟慢12时需要

（60×12）÷30＝24（天），即慢钟每经过24天显示一次标准时间。

因为［36，24］=72，所以两个钟同时再次显示标准时间，至少要经过72天。

例4 一个快钟每时比标准时间快1分，一个慢钟每时比标准时间慢2分。若将两个钟同时调到标准时间，结果在24时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整。此时的标准时间是多少？何时将两个钟同时调准的？

分析与解：因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差60分时，快钟20÷1＝20（时），所以是20时前（12点40分）将两个钟同时调准的。

当然，本题也可以由慢钟求出结果。同学们不妨试试。

例5 某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每小时100分钟（见右图）。当这只钟显示5点整时，实际上是中午12点整。当这只钟显示3点75分时，实际上是什么时间？实际时间下午5点24分时，这只钟显示什么时间？

分析与解：怪钟每天100×10＝1000（分），而实际即正常的钟是每天60×24＝1440（分），所以怪钟的1分等于实际的1440÷1000＝1.44（分），实际的1分等于怪钟的怪钟的10点整相当于正常钟的12点整。怪钟从10点到3点75分经过了375分，等于实际的1.44×375＝540（分）＝9（时）。所以怪钟的3点75分就是实际的上午9点整。

从0点（即半夜12点）到下午5点24分，正常钟走了

60×（12＋5）＋24＝1044（分），等于怪钟的所以实际时间下午5点24分时，怪钟显示7点25分。

例6 李叔叔下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班的时间了，就到屋里去看钟，可是钟停在了12点10分。他赶快给钟上足发条，匆忙中忘了对表就上班去

了，到工厂一看离上班时间还有10分钟。夜里11点下班，李叔叔回到家一看，钟才9点钟。如果李叔叔上、下班路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？

分析与解：这道题看起来很“乱”，但我们透过钟面显示的时刻，计算出实际经过的时间，问题就清楚了。

钟从12点10分到9点共经过8时50分，这期间李叔叔上了8时的班，再减去早到的10分钟，李叔叔上、下班路上共用

8时50分－8时－10分＝40（分）。李叔叔到工厂时是2点50分，上班路上用了20分钟，所以出发时间是2点30分。

因为出发时钟停在12点10分，所以钟停了2时20分。

植树问题教案 知识点、重点、难点

以植树为内容,研究植树的棵树、棵与棵之间的距离(棵距)和需要植树的总长度(总长)等数量间关系的问题,称为植树问题.植树问题在生活中很有实际运用价值,其基本数量关系和解题的要点是:

1.植树问题的基本数量关系:每段距离×段数=总距离.2.在直线上植树要根据以下几种情况,弄清棵数与段数之间的关系:(1)在一段距离中,两端都植树,棵数=段数+1;

(2)在一段距离中,两端都不植树,棵数=段数-1;

(3)在一段距离中,一端不植树,棵数=段数.3.在封闭曲线上植树,棵数=段数.例题精讲: 例 1 有一条长1000米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗,一共需要准备多少棵树苗?

分析:先将全长1000米的公路每25米分成一段,一共分成多少段?种树的总棵树和分成的段数的关系是棵数=段数+1.解 1000÷25+1=41(棵).答:一共需要准备41棵树苗.例 2 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离.分析:公路全长为40×(121-1)解 40×(121-1)÷(51-1)=40×120÷50=96(米).答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米.例 3 两幢大楼相隔115米,在其间以等距离的要求埋设22根电杆,从第1根到第15根电杆之间相隔多少米? 分析:在相距115米的两幢大楼之间埋设电杆,是两端都不埋电杆的情况,115米应该分成22+1=23段,那么每段长是115÷23=5米,而第1根到第15根电杆间有15-1=14段,所以第1根到第15根电杆之间相隔(5×14)米.解 115÷(22+1)×(15-1)=115÷23×14=70(米)答:从第1根到第15根之间相隔70米.例 4 工程队打算在长96米,宽36米的长方形工地的四周打水泥桩,要求四角各打一根,并且每相邻两根的距离是4米,共要打水泥桩多少根? 分析:先求出长方形的周长是(96+36)×2=264米,每4米打一根桩,因为是沿着长方形四周打桩,所以段数和根数相等,可用264÷4来计算.解(96+36)×2÷4=132×2÷4=66(根).答:共要打水泥桩66根.37

例 5 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵? 分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,沿着2430米的四周,每隔9米种柳树一棵,共可种2430÷9=270棵,也就是把水库四周平分成270段.又在相邻两棵柳树之间,每隔3米种杨树一棵,每段可种9÷3-1=2棵,总共可种杨树2×270=540棵.解(9÷3-1)×(2430÷9)=2×270=540(棵)答:水库四周要种杨树540棵.例 6 红星小学有125人参加运动会的入场式,他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米.他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 分析:这是一道与植树问题有关的应用题.利用“有125人,每5人为一行”可求出一共有125÷5=25行,行数相当于植树问题中的棵数,“前后两行距离是2米”相当于每两棵树之间的距离,这样可求出队伍的长度是2×(25-1)米.再加上主席台的长度,就是队伍所要走的距离.用队伍所要走的距离,除以队伍行走的速度,可求出所需行走的时间了.解 [2×(125÷5-1)+32]÷40=[2×24+32]÷40=80÷40=2(分钟).答:队伍通过主席台要2分钟.平均数教案 知识点、重点、难点

在日常生产和生活中,我们经常遇见求平均数问题,如求一个年级学生的平均身高、体重等等.将几个不相等的数,在它们的总数一定的情况下,通过”移多补少”的方法,使这几个不相等的数变成相等的数,这个相等的数,叫做这几个数的平均数.解答平均数应用题时,要搞清总数、份数和平均数三者之间的关系:平均数=总数÷份数,必

须注意的是”份数应与总数、平均数相对应”.例题精讲

例1 在4个同样的杯子中倒有饮料,高度分别是11厘米、12厘米、14厘米和15厘米,这四个杯子中饮料的平均高度是多少? 分析:求平均高度,要先将所有饮料的高度加起来,再除以4就可以了.解(11+12+14+15)÷4=13(厘米)答:这四个杯子中饮料的平均高度是13厘米

例2 佩明小学有28位女教师,平均年龄35岁,有4位男教师,平均年龄27岁,这些教师平均年龄是多少岁? 分析:要求平均年龄,先要求出所有教师的年龄总和:女教师的年龄和+男教师的年龄和,再用年龄总和除以所有教师的人数.解(35×28+27×4)÷(28+4)=34(岁)答:这些教师平均年龄是34岁

例3 某电脑大卖场七月份卖出了1924台组装电脑,八月份卖出了2096台组装电脑,九月份卖出了2420台组装电脑,这个大卖场第三季度平均每天卖出电脑多少台? 分析:要求出每天的销售量,必须用总的销售量除以第三季度的总天数.解(1924+2096+2420)÷(31×2+30)=70(台)答:这个大卖场第三季度平均每天卖出电脑70台 例4 连续5个正整数的和是100,这五个数分别是多少? 分析:连续五个和是100,中间的数就是这五个数的平均数.只要将100除以5就可以求出中间数,然后再写出其他的数.39

解 100÷5=20.其他的数分别是18、19、21、22 答:这五个数分别是18、19、20、21、22 例5 连续8个单数的和是160,这八个单数分别是多少? 分析:把8个单数分成每2个数一组,每组的和相等,可以求出中间两个数的和,由于是连续的单数,那么中间两个数的差是2,就能求出中间两个数.解 160÷(8÷2)=40.第四个数为(40-2)÷2=19,第五个数为(40+2)÷2=21 答:这八个连续单数分别是13、15、17、19、21、23、25、27.例6 把1~999分成20组,已知这20组中每一组的平均数都相等,求这个相等的平均数 分析:每组的平均数就等于1~999的平均数.解(1+999)×999÷2÷999=（1+999）÷2=500.答:这个相等的平均数是500.例 7 七个数的平均数是62,把其中一个数改为90,平均值为74,这个数原来是几? 分析:现在的平均值提高了,总值也比原来的总值提高了,总值之差就是这个数原来与现在的差,用90减去总值的差就可以算出原来的数 解 90-(74×7-62×7)=6 答:这个数原来是6.例8 有四个数,每次取其中三个数相加,结果分别是32、34、35和37,这四个数分别是几? 分析:把这四个数看作A、B、C、D，每次三个数相加，就是A+B+C、A+B+D、A+C+D、B+C+D，四个结果相加就是A+B+C+A+B+D+A+C+B+B+C+D=3（A+B+C+D），这样就可以求出四个数之和，然后再分别求出每一个数.40

解(32+34+35+37)÷3=46.46-32=14,46-34=12,46-35=11,46-37=9.答:这四个数分别是14、12、11和9.例9 小云爬山,从山脚出发,上山路长18千米,每小时行3千米,到山顶后沿原路下山,每小时行6千米,问小云上山,下山的平均速度是多少? 分析:注意不可以用(上山速度+下山速度)÷2,正确的平均速度应该等于总路程÷总时间.解 总路程=18×2=36(千米),总时间=18÷3+18÷6=9(小时).平均速度=36÷9=4(千米/小时).答:小云上山、下山的平均速度是4千米/小时.例10 有8个数的平均数是9,前5个平均数是8,后4个平均数是11,第5个数是多少? 分析:分别利用平均数先求出几个数的总数,再考虑第5个数即在前5个数中又在后4个数中,这9个数的总数比8个数的总数就是多了第5个数,所以可以通过前5个数的总数与后4个数的总数之和减去8个数的总数求得 解(5×8+4×11)-8×9=84-72=12.答:第5个数是12.速算、巧算教案

1、十几乘十几。口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。注：个位相乘，不够两位数要用0占位。例：12×14=？

解: 1×1=1 2＋4＝6

2×4＝8 12×14=168 15×13=

14×12=

12×15=

19×17=

16×14= ２、头同，尾合十。口诀：一个头加１后头乘头，尾乘尾，个位相乘不够两位数用0占位。例：23×27=？

解：2＋1＝3

2×3＝6

3×7＝21

23×27=621 34×36=

82×88=

51×59=

24×26=

74×76=

3、尾同，头合十。口诀：十位相乘加个位放百位，个位相乘不够两位数用0占位。

例：34×74=？

解：

3×7＋4=25

4×4=16

34×74=2516 59×51=

83×23=

71×31=

45×64=

16×96=

4、第一个乘数互补，另一个乘数数字相同。口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾 例：37×44=？

解：3＋1=4 4×4=16 7×4=28

37×44=1628 37×22=

64×33=

19×88=

82×77=

73×55=

5、几十一乘几十一。口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。

例：21×41=？

解：2×4=8 2＋4=6 1×1=1

21×41=861 31×41=

61×21=

41×51=

51×71=

81×91=6、11乘任意数。口诀：首尾拉开，中间加。

例：11×23125=？解：2＋3=5 3＋1=4 1＋2=3 2＋5=7 2和5分别在首尾

11×23125=254375 注：和满十要进一。

26×11=

631×11=

89×11=

3729×11=

7、平方速算。21 × 21 = 441× 22 = 484× 23 = 529× 24 = 576(1)求11～19 的平方：底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位

乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。例：17 × 17= 289 17 ＋ 7 = 24-7 × 7 = 49(2)个位是1 的两位数的平方 ：底数的十位乘以十位(即十位的平方)，得为前积，底数的十位加十位(即十位乘以2)，得数为后积，在个位加1。

(3)个位是5 的两位数的平方：十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。例：35 × 35(3 ＋ 1)× 3 = 12—25= 1225(4)25～50 的两位数的平方：用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：37 × 37=1369

3737)2 = 169 注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。例：26 × 26=676-25 = 1

(50-26)2 = 576

16×16=

15×15=

31×31=

71×71=

51×51= 17×17=

45×45=

39×39=

42×42=

28×28= 加减法的巧算。(靠整法、凑整法、分组法、基准数法)799999＋79999＋7999＋799＋79＋7

526－73－27－26

4253－(253－158)

1966＋1976＋1986＋1996＋2006

123＋234＋345－456＋567－678＋789－890

1-2＋3-4＋5-6＋…＋1991-1992＋1993

4996＋3993＋2992

6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋9354－(7358－5362)＋6839－(4843－2847)

乘除法的巧算。(整数乘积、乘法分配律、合理拆数、商不变性质)2532125

12513482552

456212525548

25104

2755

298×26

6712＋67352997729(8181)

12588

12513482552

2745＋67×101

123×56-23×56

38×29＋38×70＋6752＋67

99991111＋33336667 44

＋

(914875)(251316)

219＋229＋239＋249

1997×1999－1996×2000

差倍问题教案

前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

分析

上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、班各有图书多少本。

解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本数： 40×3=120（本）

或40＋80=120（本）。

验算：120-40＝80（本）

120÷40=3（倍）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？

分析

这样想： 根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

②运来白菜： 750×3=2250（千克）

验算：

2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）

答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

例3 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

分析

上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

解：①第一根截去12米剩下的长度：

（12+14）÷（3-1）＝13（米）

②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）

答：两根绳子原来各长25米。

自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其 他方法求两根绳子原来各有多长.小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数，也就是较小的数，再求几倍数。

解题规律：

差÷倍数的差=1倍数（较小数）

1倍数×几倍=几倍的数（较大的数）

或：较小的数+差=较大的数。

例4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，47

求两班原有图书各多少本？

例4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？

分析

两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。

解：①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？

74＋96=170（本）

②三（2）班剩下的图书是多少本？

170÷（3-1）=85（本）

③三（2）班原有图书多少本？

85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

综合算式：

（74＋96）÷（3-1）＋96 ＝170÷2+96

＝85＋96 ＝181（本）

验算：181+74=255（本）

181-96=85（本）

255÷85=3（倍）

答：两班原来各有图书181本。

例5 两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？

分析

已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。

解：①第二块布比第一块布多剩多少米？

31-19＝12（米）

②第一块布剩下多少米？

12÷（4-1）=4（米）

③第一块布原有多少米？

4+31=35（米）（两块布原有长度相等）

综合列式：

（31-19）÷（4-1）+31 =12÷3+31 =4＋31 =35（米）

验算：35-31=4（米）

35-19＝16（米）

16÷4＝4（倍）

答：每块布原有35米长。和倍问题教案 教学目标： 学会运用画图线的方法表示和倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。熟练掌握解答和倍问题的方法，理解和倍问题中各个量之间的关系。教学重点：运用画图线的方法，准确分析各量之间的关系。教学难点：能够理解和倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。教学过程：

学习例1：

甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？

分析与解答：设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：

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