第三讲两个平面的位置关系_两个平面的位置关系
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第三讲两个平面的位置关系
一、知识点
1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.3.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.4.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.5.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、典型例题
例1.下列命题中，正确的是
A.经过不同的三点有且只有一个平面
B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D.垂直于同一个平面的两个平面平行
例2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有
A.1种B.2种C.3种D.4种
例3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是
A.α、β都平行于直线a、b
B.α内有三个不共线点到β的距离相等
C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
例4.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c
∥∥④a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥∥c
其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）
例5 设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.例6如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥
CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1.1
1例7如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A1BD.例8
下列命题中，错误的是
A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B.平面α∥平面β，aα，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a C.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
例9在四棱锥P—ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.C
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小.例10.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD
例11.直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是
aD.a
2例12设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为
A.3B.2C.1D.0
例13在正方体ABCD—A1B1C
1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1—BD—A的正切值为_____________.例14夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.例15如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.A.a
B.2aC.例16 如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；
（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.例17已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C
1的一边A1C1于点D
.A1
（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；
（3）若AB∶AA1=2，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.三、练习题
1.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 A.α、β都垂直于平面γ
B.α内存在不共线的三点到β的距离相等 C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
2.设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=３4，则CS=_____________.3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：
甲乙
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值.其中正确命题的序号是_____________.4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求证：MN∥α；
（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长..5.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a.A
（1）求证：平面AD1B1∥平面C1DB；（2）求证：A1C⊥平面AD1B1；
（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.6P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是
A.PA=PB=PC
B.PA⊥BC，PB⊥AC
C.点P到△ABC三边所在直线距离相等
D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等
7m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为
①α∩β=m，nα，n⊥m，则α⊥β②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
A.①②B.②③C.③④D.②④
8设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，aβ，bα，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.9.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的长为__________.10.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长为3，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.11如下图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G.（1）：平面B1EF⊥平面BDD1B；
（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1—EFD1的体积V.12如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a.求：
A1
（1）AB与B1C所成的角；（2）AB与B1C间的距离；（3）AB与B1D间的距离.
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