大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备_大一高数期末考试重点

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河北科技大学2003级

高等数学（下）期末考试试题1

一、填空题（共15分）

1.(5分)微分方程y3y2y0的通解为2.(5分)设D是平面区域|x|2,|y|1,则x(xy)d.D

3.(5分)设zf(exy),其中f可微,则dz

二、选择题（共15分）

1.(5分)若anxn在x2处收敛，则此级数在x1处().n1

(A)条件收敛;(B)绝对收敛;

(C)发散;(D)收敛性不确定.

2.(5分)limun0是级数un收敛的().nn1

(A)充分条件;(B)必要条件;

(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.3.(5分)已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐标面上是某个二元

函数的全微分,则a =().(A)0;(B)2;(C)1;(D)2;

三、解答题（共56分）

1.（7分）已知曲线xt,yt2,zt3上P点处的切线平行于 平面x2yz4,求P点的坐标.2.（7分）设zf(xy ,), f具有二阶连续的偏导数,求xy2zxy2.3.（7分）计算曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L为 xx

由点A(a , 0)至点O(0 , 0)的上半圆周yaxx2(a0).4.（7分）将f(x)arctanx展开成关于x的幂级数.5.（7分）判别级数(1)n

n1

lnnn

n的敛散性.

6.（7分）求幂级数

n1

(x3)n3

n的收敛域.7.（7分）计算曲面积分

I



(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy

333

其中为球面x2y2z2a2(a0)的内侧.8.（7分）试写出微分方程2y5yxcos2x的特解形式.四、应用题（8分）

在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.五、证明题（6分）

证明：曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行，其中函数g可导.评分标准（A卷）

一、(每小题4分)

1.yC1e

x

C2e

2x

;2.323

;3.f(exy)exy(ydxxdy).二、(每小题4分)1.(B);

二、解答题

2.(B);3.(D).2

1．(7分)解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分



已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分

1

令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分

于是

P1(1,1,1),p2(，).┄┄┄┄7分

3927

解

2．(7分)

zxy

zx

3xfxyf1xyf2, ┄┄┄┄3分

yf22┄┄┄┄7分 4xf12xf2xyf11

3．(7分)解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分

C(esinyy)dx(ecos1)dydxdy

D

xx

a212

()a.┄┄┄4分 228

而

OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分 1

a0a.┄┄┄┄7分

11x

xx

I

4．(7分)解 f(x)

(1)x

n0



n2n

(x1),┄┄┄┄3分

f(x)(1)

n0



n

12n1

x

2n1

┄┄┄┄6分

x[1,1].┄┄┄┄7分

n

(1)

5．(7分)解lim

n

lnnn

limlnn,n

1n

(或当n3时,

(1)lnn

n



n



lnnn



1n)┄┄┄┄2分

而

n1

1n

发散, 

n1

(1)

n

lnnn

发散.┄┄┄┄4分

令un

lnnn,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分

n

由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分 6．(7分)解lim

an1an

n

lim

n3

nn1

n

(n1)3



,R3, ┄┄┄┄3分

3又当x33,即x0时,级数

n1

(1)n

n

收敛;┄┄┄┄5分

当x33,即x6时,级数

n1

1n

发散┄┄┄┄6分

故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分 7.(7分)解利用高斯公式及球坐标有

I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分



30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分

2a2

2

12a

5.┄┄┄┄7分

8.(7分)解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分 特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分

f(x)x



cos2x,┄┄┄┄3分

0 是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分

*的一个特解形式为

又02i不是特征根, 2y5y

*

cos2x的一个特解形式为

y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故 原方程的一个特解形式为

yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分

四、解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(x)，┄┄┄┄1分 点(x,y)处的切线方程为Yyy(Xx),┄┄┄┄2分 令Y0,得切线在x轴的截距Xx

***

yy,┄┄┄┄3分 y

梯形的面积为S

(xX)y

(2x

y)ya,即2(xya)yy,┄┄┄┄4分

化为一阶线性方程

dxdy



2y

x

2ay,┄┄┄┄5分 2a

代入公式或用常数变易法求得通解：x

3y

Cy.┄┄┄┄7分

将初始条件y

xa

a代入通解得C

2a

13a,故所求曲线方程为x

3y



y3a

.┄┄┄┄8分



五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分 

取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分

故原结论成立.┄┄┄┄6分

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