计算方法公式总结_计算公式总结

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计算方法公式总结

绪论

exx，x为准确值，x为近似值。绝对误差绝对误差限

r|e||xx|，ε为正数，称为绝对误差限

xxe表示相对误差 通常用exxrxxe相对误差e*xxr相对误差限|er|r或|e|r 有效数字

一元函数y=f（x）

'e(y)f(x)e(x)绝对误差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)er(x)相对误差ryyf(x)二元函数y=f（x1,x2）绝对误差 f(x1,x2)f(x1,x2)e(y)dx1dx2

x1x2f(x1,x2)x1f(x1,x2)x2e(y)er(x1)er(x2)相对误差rx1yx2y

机器数系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n为计算机字长

3.指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U 4.尾数部 s0.a1a2an，定位部p

n112(1)(UL1)5.机器数个数机器数误差限

1np舍入绝对 |xfl(x)|截断绝对|x2fl(x)|np

|xfl(x)||xfl(x)|11n1n舍入相对截断相对

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)(xx)mg(x)，g(x)0，x*为f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)0xk1(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}x(x){xk}为迭代序列，(x)为迭代函数，kk

局部收敛

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛

牛顿迭代法

f(x)f(xk)f(xk)(xxk)0

f(xk)xk1xk'(k0,1,2,)f(xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

'

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件

注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中f()M()',在这个区间内验证这四个条件。

f()

如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解

有两种方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。

注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。对角占优矩阵

a11aA21an1na12a22an2a1na2n ann则称A为按行严格对角占优矩阵 |aii||aij|(i1,2,,n)j1jin|ajj||aij|(j1,2,,n)i1ij则称A为按列严格对角占优矩阵

aijaji(i1,jn)xR,x0,(x,Ax)0

则称A是对称正定的。

当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时追赶法是高斯消元法的一种特例

nakk0，不用换行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列绝对值当|ask|maxkin最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。(k)(k)

迭代序列构造

AxbxBxfx第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。迭代收敛判别

1.充分条件：迭代矩阵范数小于1，B1

结论：Ax=b有唯一解x*

(k1)Bx(k)f

2.充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,(B)1 Jacobi迭代法

ALDU其中L（low）为下三角，U为上三角，D为对角线元素

迭代格式：x(k1)D(LU)x(k)D1b

1

迭代矩阵JD(LU)

1收敛性判据：

|IJ|0|D||LDU|0|LDU|0

求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛.1Gau-Seidel迭代法

迭代格式

x(k1)D(Lx1(k1)Ux(k)b)

(k)x(k1)(DL)Ux11(DL)1b

迭代矩阵：G(DL)U

常数矩阵：g(DL)1b



收敛性判据：

|IG|0|(DL)||(DL)U|0|(DL)U|0

求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gau-Seidal迭代法均是收敛的1插值法

用插值多项式p（x）代替被插函数f(x)

nP(x)aaxax插值多项式：，01nn+1个点P(xi)yi(i0n)

插值区间：[a,b]，插值点满足

ax0x1xnb

求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法

带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。一次线性插值nxx0xx1Py0y1y0l0(x)y1l1(x)1(x)x0x1x1x0(xxi)lk(x)i0(xx)(xkxi)ikki

ni0iki0ikn(xxi)Lagrange插值多项式

Ln(x)yklk(x)k0k0 nnxxi()yki0xxiikkn插值余项

非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值

f(n1)()nRn(x)f(x)Ln(x)(xxi)(n1)!i0(a,b)

带导数插值条件的余项估计

注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数

(t)Rn(t)K(x)Wn1(t)

第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法

记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式

通常记作Nn（x）分段样条插值

分段二次样条插值

讨论n为奇偶情况时的三个点 余项估计式

三次样条插值函数

第一类边界条件（端点一阶导数已知）

D0等于第一个式子，dn等于第二个式子

自然边界条件（端点二阶导数已知二阶导数和M0，Mn=0）

曲线拟合最小二乘原理

函数关于n个点线性无关

23n1,x,x,x,,x注：线性无关的函数为才是最小二乘多项式

注：记住公式即可。

数值积分和数值微分

xk为求积节点，Ak为求积系数。

插值求积公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截断误差

代数精度

当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5

截断误差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gau求积公式

求积公式代数精度为2n+1 [-1,1]上的两点Gau公式（3次代数精度）

111f(x)dxf(3)f(3)1[-1,1]上的三点Gau公式（5次代数精度）

538531f(x)dx9f(5)9f(0)9f(5)1

记住 xktk，AkAk的关系，tkAk查表即可

复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶

计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可

1|I2n(f)In(f)|时 给定精度ε，p211|I(f)I2n(f)|p|I2n(f)In(f)|21因而可以取I2n(f)为I(f)的近似值。

梯形

Simpson数值微分

数值微分截断误差

中点公式：

f(x0h)f(x0h)D(h) 2h常微分方程数值解法

Euler方法

欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解

局部截断误差

Euler公式的局部截断误差（一阶精度）

后退Euler公式

梯形公式(二阶精度)

改进Euler公式（二阶精度）

截断误差（推导要求掌握，利用梯形和Euler公式的截断误差）

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