定积分概念教案(修改)_定积分概念教案

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四川工商学院

授 课 计 划（教 案）

课程名称：高等数学

章节名称：第六章 第一节 定积分的概念 使用教材：赵树媛主编，《微积分》（第四版），北京：中国人民大学出版社，2016.8 教学目的：掌握定积分的概念，培养学生建立数学模型、从具体到一般的抽象思维方式；从已知到未知的研究问题的方法，提高学生的应用能力和创新思维。

教学重点：定积分的概念

教学难点：定积分概念建立、分割的思想方法及应用

教学方法：教学采用启发式、数形结合，用多媒体辅助教学。适用层次：应用型本科。教学时间：45分钟。

教学内容与教学设计

引言

介绍牛顿和莱布尼兹两位数学家和物理学家以及在微积分方面的研究成果，重点展示在积分方面的成果。（简单提及积分产生背景）

（PPT展示肖像，简历和成就。2分钟）

一、引例

已经会用公式求长方形、梯形、三角形面积。但对一些不规则平面图形的面积计算，需要寻求其他方法计算。

（PPT展示封闭的图形及分块，特别强调曲边梯形。2分钟）

（一）求曲边梯形的面积（板书）

由xa,xb,y0与yfx0围成平面图形，求面积A=?（如图）（PPT展示）

1.分析问题

（1）用小曲边梯形的面积相加就是A；（PPT展示）

（2）用小矩形代替小曲边梯形有误差，但有计算表达式（PPT放大图形）

（3）分的越细，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很细，或最大的都很小（PPT）

（PPT展示，4分钟）

2.分割

（1）在a,b内任意插入n1个分点：

ax0x1x2xi1xixnb

这样，把a,b分成了n个小区间x0,x1,,xi1,xi,,xn1,xn，并记小区间的长度为xixixi1,i1,2,n（PPT演示，重点说明其目的是准备用小矩形代替小曲边梯形，以便提高精度。2分钟）

（2）过每一个分点作平行于y轴的直线，这样一来，大的曲边梯形被分成n个小曲边梯形Ai（小范围）。

3.近似代替

f(在第i 个小曲边梯形上任取i[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

为底， i)为高的小矩形, 1i]并用此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积 

A i , 得

Aif(i)xixixixi1，i1,2,....,n

（PPT演示，重点说明乘积的量表示什么。2分钟）

（1）求和

把n个小曲边梯形相加，就得到大曲边梯形面积的近似值

AAifixi（板书）

i1i1nn（PPT演示，重点说明，两个量的区别，让学生记住后一个表达式，这是将来应用的核心部

分。3分钟）

（2）取极限

当分点的个数无限增加，且小区间长度的最大值，即趋近于零时，上述和式极限就是梯形面积的精确值。

nn

AlimAi=limfixi即 max{xi},（板书）001ini1i1

（PPT演示，重点说明三个符号构成一个新的记号，重点。3分钟）

（二）变速直线运动的路程（板书）

求物体在这段时间内所经过的路程s。

n设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔T1，T2上t的连续函数，且 v(t)0,S=limviti（板书）

0i1（PPT展示上述结论，与

（一）对比，只是将符号变更，另一方面乘积的量发生了变化。

3分钟）

二、定积分的定义

定义：设函数fx在a,b上有定义，任意取分点

ax0x1x2xi1xixnb

把a,b分成n个小区间，xi-1，xi称为子区间，其长度记为xixixi1,i1,2,n。在每个子区间xi-1，xi上，任取一点ixi-1，xi，得函数值fnf()x。i，作乘积

ii

f(i)xi。把所有的乘积加起来，得和式 i1当n无限增大，且子区间长度的最大长度趋近于零时，如果上述和式的极限存在，则称fx在子区间a,b上可积，并将此极限值称为函数fx在a,b上的定积分。记作：

fxdx

ab即

fx

（板书）fxdxlima0iii1bn

（PPT展示定义，重点说明：记号和等号，左边是新的符号，右边是其表达式，即如果可以建立右边表达式，就立即将其用左边符号表示，换言之，看见左边符号，立即联想到右边的表达式。4分钟）

（板书）fxdx，变速直线运动的路程可以表示为：S=vtdt（板书）曲边梯形的面积可以表示为：AabT2T1定理

1设fx在a,b上连续，则fx在a,b上可积。

定理2 设fx在a,b上有界，且只有有限个间断点，则fx在a,b上可积。

（PPT展示定理。解释：只要满足条件，lim0fx 就可以与定积分符号划等号。

iii1n2分钟）

三、例题

利用定义计算定积分

10x2dx

（PPT展示全部计算过程及答案，说明几何意义。特别强调，以后用牛-莱公式计算，即简单又快捷，但要用到不定积分的知识，提醒学生复习已学过的相关知识。下次课介绍牛-莱公式。2分钟）

四、总结（板书）

（PPT展示定义-符号、定理，提示复习不定积分，核心表达式板书。1分钟）

五、作业（板书）

板书设计框架

第五章 第一节 定积分的概念

一、引例

（一）求曲边梯形的面积

（二）变速直线运动的路程

二、定积分定义

fx fxdxlima0iii1bn

三、例题

10x2dx=

四、总结

五、习题与提示

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