高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论教案_平面的基本性质与推论

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高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论教案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“平面的基本性质与推论”。

1.2.1 平面的基本性质与推论

示范教案整体设计

教学分析

教材通过实例归纳和抽象出了平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念，并类比集合给出了点、直线和平面之间的关系的符号表示．在教学中，要留给学生足够的时间，引导学生归纳和抽象平面的基本性质与推论．

三维目标

1．掌握平面的基本性质及推论，提高学生的归纳、抽象能力．

2．掌握异面直线的概念，能用集合符号表示点、直线、平面的位置关系，提高学生抽象思维和类比能力，培养空间想象能力．

重点难点

教学重点：平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念．教学难点：归纳平面的基本性质与推论．课时安排

1课时

教学过程导入新课

设计1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．

设计2.(实例导入)观察长方体(下图)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？

长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．怎样用符号表示空间中的点、直线、平面之间的位置关系呢？本节我们将讨论这些问题．

推进新课

新知探究

提出问题

在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过路径，就用一条线段来表示，连结两点的线中，什么线最短？

把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，这说明了平面具有什么性质？

在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳.这说明了平面具有什么性质？

长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线，其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么，两个平面在什么情况下相交？这说明了平面具有什么性质？

讨论结果：

(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．

(2)基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如左下图)．

这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．

(3)基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(如右上图)．这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．

(4)基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(如左下图)．

为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．如下图，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．

提出问题

经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？在空间中，存在既不平行又不相交的两条直线吗？阅读教材，怎样用集合符号表示点、直线、平面的位置关系？讨论结果：

(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(如下图(1))．

图(1)

图(2)

图(3)

事实上，如上图(1)所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内．

(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如上图(2))．

事实上，如上图(2)所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面

(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如上图(3))．

事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如上图(3)所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．

(4)在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况．如下图所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内．这与点A在α外矛盾．因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．

由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．

(5)点A在平面α内，记作A∈α，点A不在α内，记作α；直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作l

α；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a；直线l和直线m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记作l∩m＝A.基本性质1可以用集合语言描述为：如果点A∈α，点B∈α，那么直线ABα.应用示例

思路1

例1 如下图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．

解：在上图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上图(2)中，α∩β＝l，aα，bβ，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练

1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，Bα，A∈l，B∈l；

(2)aα，bβ，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下图．

2．根据下列条件，画出图形．

(1)α∩β＝l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，Fl；

(2)α∩β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.答案：如下图．

点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：

(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来．

思路2

例2对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．aα，bα B．aα，b∥α

C．a⊥α，b⊥α D．aα，b⊥α

解析：若a、b异面，A、C选项错；若a、b不垂直，D选项错，故选B.答案：B 例3 如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()

A．平行 B．相交且垂直 C．异面直线 D．相交成60°

解析：如上图，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D 点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化．

变式训练

1.如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．

答案：三

2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条

解析：在A1D1延长线上取一点H，使A1D1＝D1H，在DC延长线上取一点G.使CG＝2DC，延长EF，连结HG与EF交于一点．

连结D1F必与DC延长线相交，延长D1A1，连结DE必与D1A1延长线相交．连结A1C与EF交于EF中点，故选D.答案：D 知能训练

1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．

解：如下图，连结BD、AC交于点E，CD′、DC′交于点F，直线EF即为所求．

∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．

2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．

证明：如下图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且ABβ，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三点共线．

3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．

证明：如下图，连结A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．

拓展提升

求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．

证明：如下图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，α.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、α，即a、b、c、d在同一平面内．

点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线．

课堂小结

本节课学习了：

1．平面的基本性质与推论； 2．异面直线；

3．用符号表示空间位置关系．

作业

本节练习A 2,3,4,5题．

设计感想

由于本节是学习位置关系的起始课，所以在设计时注重从不完全归纳入手，以培养学生的空间想象能力为核心，激发学生的发散思维．