有效数字教案
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2.11 有效数字与科学计数法（第一课时）
学习任务分析：
学习目标：
1、了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用
2、能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数 学习重点：
按要求取一个数的近似数 学习难点：
正确地求一个近似数的精确度及它的有效数字的个数
学习过程设计：
一、问题与情境1： 请你想一想：
在实际应用中，往往不需要保留很多的小数位数，在小学算术中我们曾学过用“四舍五入法”根据实际需要保留一定的小数位数，取它的近似值． 练习：求下列近似值：(1)将2.953保留整数得3(2)将2.953保留一位小数得3.0(3)将2.953保留两位小数得2.95 若按数的近似值记法有： 2.953≈3(保留整数)2.953≈3.0(保留一位小数)2.953≈2.95(保留两位小数)
二、问题与情境2： 自我学习
1．准确数和近似数
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数：例如初一(6)班有55个学生，某工厂有126台机床，我有4个练习本，这些数：55、126、4都是与实际完全符合的准确数．但是在实际生活和实际计算中存在着大量与实际上大体符合的近似数．
又如月球到地球的距离约是38万公里，李明同学的身高约是1.63米，38万、1.63米都是与实际接近的近似数．
在计算面积、体积时，由于测量出来的长度都不可能做到绝对准确，因此所求面积、体积也是一个近似数．
所以，准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际接近的数． 由此我们看到在解决实际问题时，往往只能用近似数，一方面搞得绝对准确是不可能的，另一方面往往也没有必要搞得完全准确．
2．关于精确度问题．
在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数问题，使用近似数，我们知道就有一个近似程度问题，也即精确度问题．
例如前面提到的积2.953 2.953≈3 保留整数，叫做精确到个位(或精确到1)；
2.953≈3.0 保留一位小数，叫做精确到十分位(或精确到0.1)； 2.953≈2.95 保留两位小数，叫做精确到百分位(或精确到0.01)． 结果取3，就叫做精确到个位(或精确到1)； 取3.3，就叫做精确到十分位(或精确到0.1)； 取3.33，就叫做精确到百分位(或精确到0.01)． „„
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
3．近似数的有效数字
在一个近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到右边最后一位四舍五入所得的数字止，一共包含的数字的个数，叫做这个近似数的有效数字的个数(或位数)，其中任意一位上的数字都是有效数字． 上例中，3有一个有效数字：3； 3.0有两个有效数字：
3、0； 2.95有三个有效数字：2、9、5．
三、问题与情境3： 请你试一试
例1 下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？(1)43.8；(2)0.03086；(3)2.4万；(4)3000．
解：(1)43.8，精确到十分位(即精确到0.1)有三个有效数字4、3、8；(2)0.03086，精确到十万分位(即精确到0.00001)有四个有效数字3、0、8、6；(3)2.4万，精确到千位，有两个有效数字2、4；(4)3000，精确到个位，有四个有效数字3、0、0、0．
注意：(1)有效数字是从左边第一个不是零的数起；
(2)从左边第一个不是零的数起到精确到的位数(即最后一位四舍五入所得的数)止，所有的数字．例(2)中，0.03086左边第一个不是零的数是3，最后一位四舍五入所得的数是6，从3到6的所有的数是3、0、8、6，左边的两个0不算，3与6之间的0要算，这个近似数有4个有效数字3、0、8、6；
(3)要注意末位的零，如(4)中末三个0不能丢．
（4）在实际生活中，有时近似数并不是按“四舍五入”法得到的。如：七年级3班共有54名同学，想租用38座的客车外出秋游。因为54÷38=1.421„„，这里就不能用四舍五入法，二要用“进一法”（或叫收尾法）来估计应该租用客车的数量，即应租2辆。
四、问题与情境4： 看你行不行
练习1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？(1)25.7；(2)0.407；
(3)103万；(4)1.60；(5)10亿．
解：(1)25.7，精确到十分位，有三个有效数字2、5、7；(2)0.407，精确到千分位，有三个有效数字4、0、7；(3)103万，精确到万位，有三个有效数字1、0、3；(4)l.60，精确到百分位，有三个有效数字1、6、0；(5)10亿，精确到亿位，有两个有效数字1、0．
练习2．近似数1.6和1.60有什么不同，能把近似数1.60写成1.6吗？ 答：近似数1.6和1.60的精确度不同，1．6是精确到十分位，有两个有效数字1、6，1.60精确到百分位，有3个有效数字1、6、0．
练习3．从近似数的观点看，近似数2.4万和24000这两个数的意义相同吗？ 答：2.4万和24000这两个近似数的意义并不相同．2.4万表示精确到千位，它有两个有效数字2、4，24000表示精确到个位，它有五个有效数字2、4、0、0、0．
五、问题与情境5： 自我提升：
1．正确理解和掌握近似数、准确数、精确度和有效数字等概念；
2．要学会给出一个近似数，能准确地确定它精确到哪一位，它有哪几个有效数字；
3．对例1后面提及到的注意事项应引起重视．
六、问题与情境6 自我检测：
1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：(1)12.17，0.009403，8607000(保留三个有效数字)；(2)2.768，3.4017，92.598(精确到百分位)；(3)19.74，8.965，0.409(精确到0.1)；(4)3590，17289，3.04×104(精确到千位)；(5)1.375，0.768，0.002561(保留两个有效数字)；(6)89.6，213.4，1906.57(精确到个位)；(7)3709，496317，23.91(保留两个有效数字)．
2．用四舍五入法按要求保留有效数字，取近似数，并说出它精确到哪一位？(l)56.32(保留三个有效数字)；(2)0.6648(保留一个有效数字)；(3)0.7096(保留两个有效数字)；(4)472864(保留四个有效数字)．
3．用四舍五入法按括号里面要求的精确度取近似数，并指出近似数有几个有效数字？
(1)708.45(精确到个位)；(2)50437413(精确到万位)；(3)0.04537(精确到0.0001)；(4)1.9561(精确到0.1)．
4．判断下列说法是否正确？为什么？(1)近似数10.0与近似数10的精确度相同；(2)近似数4千万和近似数4000万精确度一样；
(3)2.718精确到十分位后(即精确到0.1)有两个有效数字；(4)近似数25.0和近似数25的有效数字相同，都为2、5．
典型例题
例1 判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数：
(1)初一(2)班有43名学生，数学期末考试的平均成绩是82.5分；(2)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加；(3)通过计算，直径为10cm的圆的周长是31.4cm；(4)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80000万个；(5)1999年我国国民经济增长7.8％．
解：(1)43是准确数．因为43是质数，求平均数时不一定除得尽，所以82.5一般是近似数；(2)一万二千是近似数；
(3)10是准确数，因为3.14是π的近似值，所以31.4是近似数；(4)80000万是近似数；
(5)1999是准确数，7.8％是近似数．
说明：1．在近似数的计算中，分清准确数和近似数是很重要的，它是决定我们用近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据． 2．产生近似数的主要原因：
(1)“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等等；(2)用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；
(3)不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数；
(4)由于不必要知道准确数而产生近似数．
例2 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
(1)38200(2)0.040(3)20.05000(4)4×10
4分析：对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，如38200，就精确到个位；如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分位；象0.040有三位小数就精确到千分
4位；象20.05000就精确到十万分位；而4×10=40000，只有一个有效数字4，则精确到万位．有效数字的个数应按照定义计算．
解：(1)38200精确到个位，有五个有效数字3、8、2、0、0．(2)0.040精确到千分位(即精确到0.001)有两个有效数字4、0．(3)20.05000精确到十万分位(即精确到0.00001)，有七个有效数字2、0、0、5、0、0、0．(4)4×10精确到万位，有一个有效数字4． 4说明：(1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零．如20.05000的有效数字是2、0、0、5、0、0、0七个．而20.05的有效数字是2、0、0、5四个．因为20.05000精确到0.00001，而20.05精确到0.01，精确度不一样，有效数字也不同，所以右边的三个0不能随意去掉．
(2)对有效数字，如0.040，4左边的两个0不是有效数字，4右边的0是有效数字．(3)近似数40000与4×10有区别，40000表示精确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、40，而4×10表示精确到万位，有1个有效数字4．
例3 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1)70万(2)9.03万(3)1.8亿(4)6.40×10
54分析：因为这四个数都是近似数，所以
(1)的有效数字是2个：
7、0，0不是个位，而是“万”位；(2)的有效数字是3个：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；(3)的有效数字是2个：
1、8，8不是十分位，而是“千万”位；(4)的有效数字是3个：6、4、0，0不是百分位，而是“千”位． 解：(1)70万.精确到万位，有2个有效数字7、0；(2)9.03万.精确到百位，有3个有效数字9、0、3；(3)1.8亿.精确到千万位，有2个有效数字1、8；(4)6.40×10.精确到千位，有3个有效数字6、4、0． 5说明：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万=90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．
例4 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值．
(1)1.5982(精确到0.01)(2)0.03049(保留两个有效数字)(3)3.3074(精确到个位)(4)81.661(保留三个有效数字)
分析：四舍五入是指要精确到的那一位后面紧跟的一位，如果比5小则舍，如果比5大或等于5则进1，与再后面各位数字的大小无关．
(1)1.5982要精确到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的数字，是8＞5，应当进1，所以近似值为1.60．
(2)0.03049保留两个有效数字，3左边的0不算，从3开始，两个有效数字是3、0，再看第三个数字是4＜5，应当舍，所以近似值为0.030．(3)、(4)同上．
解：(1)1.5982≈1.60(2)0.03049≈0.030(3)3.3074≈3(4)81.661≈81.7
说明：1.60与0.030的最后一个0都不能随便去掉．1.60是表示精确到0.01，而1.6表示精确到0.1．对0.030，最后一个0也是表示精确度的，表示精确到千分位，而0.03只精确到百分位．
例5 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值，并说出它的精确度(或有效数字)．
(1)26074(精确到千位)(2)7049(保留2个有效数字)
(3)26074000000(精确到亿位)(4)704.9(保留3个有效数字)分析：根据题目的要求：(1)26074≈26000；(2)7049≈7000
(3)26074000000≈26100000000(4)704.9≈705
(1)、(2)、(3)题的近似值中看不出它们的精确度，所以必须用科学记数法表示． 解：(1)26074=2.6074×10≈2.6×10，精确到千位，有2个有效数字2、6．
44(2)7049=7.049×10≈7.0×10，精确到百位，有两个有效数字7、0．
33(3)26074000000=2.6074×10≈2.61×10，精确到亿位，有三个有效数字2、6、1．
10(4)704.9≈705，精确到个位，有三个有效数字7、0、5． 说明：求整数的近似数时，应注意以下两点：(1)近似数的位数一般都与已知数的位数相同；
(2)当近似数不是精确到个位，或有效数字的个数小于整数的位数时，一般用科学记数法表示这个近似数．因为形如a×10n(1≤a＜10，n为正整数＝的数可以体现出整数的精确度． 例6 指出下列各问题中的准确数和近似数，以及近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1)某厂1998年的产值约为1500万元，约是1978年的12倍；
(2)某校初一(2)班有学生52人，平均身高约为1.57米，平均体重约为50.5千克；(3)我国人口约12亿人；
(4)一次数学测验，初一(1)班平均分约为88.6分，初一(2)班约为89.0分．
分析： 对于四舍五入得到的近似数，如果是整数，就精确到个位；若有1位小数，就精确到十分位，如近似数89.0就精确到十分位．若去掉末位的“0”成为89，则精确到个位了，这就不是原来的精确度了，故近似数末位的零不能去掉．
解：(1)1998和1978是准确数．近似数1500万元，精确到万位，有四个有效数字；近似数12精确到个位，有两个有效数字．
(2)52是准确数．近似数1.57精确到百分位，有3个有效数字；近似数50.5精确到十分位，有3个有效数字．
(3)近似数12亿精确到亿位，有两个有效数字．
(4)近似数88.6和89.0都精确到十分位，都有3个有效数字．
说明：在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数的问题．使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题．
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位(这个数位上的数字若是0也得算)止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．
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