新利息理论教案第3章_新利息理论教案第4章

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第3章：变额年金

本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。本章将讨论年金不相等的情况。如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。

第3.1节：递增年金

本节内容：

3.1.1期末付递增年金

假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。

一、年金现值(Ia)nn

(Ia)如果用(Ia)n表示其现值，则有

v2v23v3...nvn（1）公式推导过程：

上式两边同乘（1+i）

(1i)(Ia)12v3v2...nvn1n

用第二式减去第一式 i(Ia)(1vv2v3...vn1)nvnn

annvn

所以：(Ia)annnvni

（2）公式的另一种推导思路（略）

二、年金终值(Is)nn

nii

三、例题

例

1、一项20年期的递增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此类推，最后一次支付发生在第20年末，假设年实际利率为6%，求此项年金在时刻零的现值。

解：最后一次支付的金额应该为65195160元。将此年金分解成一项每(Is)(1i)(Ia)nsnnsn1(n1)年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。这时：

例

2、一项递增年金，第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此类推，直到最后一次支付600元，假设年实际利率为5%，试计算此项年金在最后一次支付时刻的终值。

20上述年金的现值为：60a205(Ia)1181.70解：支付金额每次递增20元，因为6003001520，所以一共支付了16次。最后一次支付发生在第16年末。

将此年金分解成一项每年末支付280元的等额年金和一项第1年末支付20，每年递增20元的递增年金。这时：

上述年金的终值为：280s1620(Is)10160.2516

3.1.2 期初付递增年金

假设第一期初支付1元，第二期初支付2元，…，第n期初支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的。

一、年金现值

如果用(Ia)n表示其年金现值，则有

nvnd(Ia)n(1i)(Ia)nan

二、年金终值 如果用(Is)nn表示年金现值，则有

dd

三、永续年金

当n趋于无穷大时：

111(1(Ia)diii)112(1)(Ia)d2i

四、例题

1、确定期末付永续年金的现值，每次付款为1、2、3、…。设实际利率为i=5%。

解：(Is)(1i)(Is)nsnnsn1(n1)(Ia)111(1)diii=420 2

本节重点：

(Ia)年金现值本节难点：

年金现值n的计算公式。

(Ia)n的公式推导。

第3.2节：递减年金

本节内容：

3.2.1 期末付递减年金

假设第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，…，第n期末支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的。

(Da)

一、年金现值如果用

n

(Da)nn表示其现值，则有

(Da)nv(n1)v2(n2)v3...nn（1）公式推导过程：

上式两边同乘（1+i）

(1i)(Da)n(n1)v(n2)v2...vn1n

用第二式减去第一式 i(Da)n(vv2v3...vn)nann

(Da)所以：nnani

（2）公式的另一种推导思路（略）

二、年金终值(Ds)nn

i

3.2.2 期初付递减年金

假设第一期初支付n元，第二期初支付n-1元，…，第n期初支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的。

一、公式(Ds)(1i)n(Da)nn(1i)nsn1、如果用(Da)n表示其年金现值，则有

nand(Da)n(1i)(Da)n

2、如果用(Ds)n表示年金现值，则有

(Ds)n(1i)(Ds)nn(1i)nsnd

说明 ：递减年金不存在永续年金的情况。

二、例题

本节重点：

(Da)年金现值本节难点：

年金现值

n(Da)和

n的计算公式。

(Da)n公式的证明。

第3.3节：付款金额按几何级数变化的年金（复递增年金）

本节内容：

3.3.1 期末付复递增年金

2(1r)假设第一年末付款1元，第二年末付款(1+r)元，第三年末付款元,…，n1(1r)第n年末付款元，那么这项年金就是按几何级数增长，其中(1r)0。当r>0时，年金为递增的，当r

1、如果用A表示其年金现值，则有

1rn1()1iirA（推导过程略）

2、如果用S表示年金终值，则有

1rn1()(1i)n(1r)nn1iS(1i)[]irir

3.3.2 期初付复递增年金

2(1r)假设第一年初付款1元，第二年初付款(1+r)元，第三年初付款元,…，4 n1(1r)第n年初付款元，那么这项年金就是按几何级数增长，其中(1r)0。当r>0时，年金为递增的，当r

1、如果用A表示其年金现值，则有

A1rn1()1i(1i)ir2、如果用S表示年金终值，则有

(1i)n(1r)nS(1i)ir3、关于永续年金

1rn1()11iir 在A中，当ri时极限不存在。

4、例题

例1、20年期末付年金，首次付款1000元，以后每年递增4%，如果年利率为7%，计算年金现值。

解：i=7%，r=4% 1r101()1i1000ir现值=14459元 本节重点：

1rn1()1iir A。本节难点：

1rn1()1iirA的推导。

第3.4节：每年支付m次的变额年金

本节讨论的年金属于广义变额年金。

本节内容：

本部分内容以期末付为例进行分析

本部分为确定年金中最复杂的情况，主要以下述年金为例说明。假设利息结转周期为n，每个利息结转周期支付款项m 次，那么总的付款次数为mn。如果每个利息结转周期支付款项m 次，付款又是逐期递增的，在第一个利息结转周期末支付1/m元，在第二个利息结转周期末支付2/m元，…，在第n个利息结转周期末支付n/m元。下面分两种情况讨论：

一、在同一个利息结转周期内付款相同，但后一个利息结转周期比前一个利息结转周期每次多付1/m元。这样在第一个利息结转周期内每次付款1/m元，在第二个利息结转周期内每次付款2/m元，…，在第n个利息结转周期内每次付款n/m元。年金现值记为

(Ia)mn。可以推导出计算公式。

(Ia)

1、i(m)mna1(m)(12v3v2..nvn1)annvn

同里也可以推出终值的计算公式。

2、例题

二、在同一个利息结转周期内付款也是逐期递增。为了保证在第一个利息结转周期末付款1/m元，在第二个利息结转周期末付款2/m元，…，在第n个利息

1222mm结转周期末付款n/m元，假设第一次付款元，第二次付款元，第三次付

m3mnn(m)22a)n。可以推导出mmm元。年金现值记为(I款元，…，第mn次付款计算公式。

(m)(Ia)

1、mn(m)annvni(m)

2、例题

本节重点：

递增年金的计算公式。本节难点：

(m)(Ia)mn(m)annvni(m)的推导。

第3.5节：连续支付的变额年金

本节内容：

3.5.1 连续支付的变额年金

一、连续支付的递增年金

annvn1、现值(Ia)n

2(Is)snn、终值n

3、永续年金现值

(Ia)1d

二、连续支付的递减年金

1、现值(Da)nnan

n(1i)nsn2、终值(Ds)n

3.5.2 连续支付连续递增的年金

(mma(m)

一、由(I)a)nnnvni(m)推出

(Ia)n公式

二、(Ia)n公式的直接推导

3.5.3 连续支付连续递减的年金

（略）

3.5.4一般连续变额年金

一、现值

ntPV texp[0sds]dt0

二、终值

nnFV texp[0sds]dtt

本节重点：

连续变额年金公式的推导。本节难点：

一般连续变额年金现值的表示。

第3.6节：年金问题的案例

一、固定养老金计划

1.一般情景

责任：退休前时，每月初存入一定的金额，具体方式为，25-29岁，月付x1元；30-39岁，月付x2元；40-49岁，月付x3元；50-59岁，月付x4元。

权益：从60岁（退休）开始每月初领取p元，一直进行20年。问题：在给定年利率i情况下，分析x1、x2、x3、x4与p的关系。2.（1）假设某人25岁参加保险，则基本价值方程为

(12)(12)(12)12pa2012x1s5(1i)3012x2s10(1i)20(12)(12)12x3s10(1i)1012x4s10

于是，px1s35(x2x1)s30(x3x2)s20(x4x3)s10a20

若i=10%，x1=200元，x2=300元，x3=500元，x4=1000元。

p2s35s302s205s10a10580.48

20（2）如果从30岁开始加入，p100则3s302s205s10a8077.89

20（3）如果从40岁开始加入，p500s则20as10204299.73

二、购房分期付款

某人采用贷款方式购房。已知房价为50万元，首付比例为30%，贷款的年实际利率为8%。若每月底等额付款。求相应贷款期为五年，八、十年时的月还款额。

解：(1k)p12Ran 计算出i(12)12=7.7208%。五年期：月付款额7050.05元 八年期：月付款额4898.33元。十年期：月付款额4194.98元

三、汽车零售

某汽车商计划采用如下零售策略：（1）若一次付清款项，价格为10万元；（2）以年利率提供8%给4年分期贷款（每月末付款）。已知当前市场上商业消费贷款的月度结转名义利率为12%，试分析第2种销售策略的当前成本（第2种付款的现值）。解：在8%的年实际利率下，月度付款100000/（12a4）=2428.2（元）；

按12%当前利率计算上述月付款的当前价值为：2428.2 当前成本为100000-92209.6=7790。

12a48=92209.6（元）

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