第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案《方程的根与函数的零点》(黑龙江董雁飞_方程的根与函数和零点

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教学设计

黑龙江省大庆实验中学董雁飞

课题：3.1.1方程的根与函数的零点

教材： 普通高中课程标准实验教科书数学必修

1（人民教育出版社A版）第三章函数的应用

【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标

教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用

3.1.1方程的根与函数的零点

教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数

函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运

用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，我们还

要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中

研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从

“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。

【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想

教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1）x2x30；（2）lnx2x60.学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将

复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破

思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如

第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？

学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数yx22x3的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写x2x30的实数根

和函数图象与x轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．

2【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系

教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？

学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟

是什么关系？

学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎

样理解它？

学生活动：思考作答。

教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方

程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是

方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点



方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。

【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化

教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点.(x4)(x1),x41(1)y3x;(2)ylog2x;(3)y;(4)y.x(x4)(x6),x

4学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法；

教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会

成为同学们思考问题的很好的参考）。

教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决

lnx2x60的根的存在性问题？

学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是

非常有价值的。

教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y=lnx2x6的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？

【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑

教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这

是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示yx22x3的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。

学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上

存在零点？

学生活动：得出f(a)·f(b)

教师活动：若f(a)·f(b)

学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足

f(a)·f(b)

【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质

教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性

定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书（三、零点存在性定理）。

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)·f(b)

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。学生活动：读出定理。

教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间[a,b]上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？

学生活动：思考作答。

教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？

学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)

会是只有一个零点么?

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内

就一定没有零点么？

3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

教师活动：那我们就来解决一下这些问题。

学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。

1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)

(a,b)内有零点，有几个不一定。

2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内

也可能有零点。

3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)

上可存在唯一零点。

【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题

教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决

lnx2x60的根的存在性问题应该是游刃有余了。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（2）lnx2x60

学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。

【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识

教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学

思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所

在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！

【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题

21.函数f(x)=x(x-16)的零点为()

Ａ.(0,0),(4,0)Ｂ.0,4Ｃ.(–4,0),(0,0),(4,0)Ｄ.–4,0,4

2.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在(0,)上有一个零点，则f(x)的零点个数为()

Ａ.３Ｂ.２Ｃ.１Ｄ.不确定

3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个

A.5个B.4个C.3个D.2个

34.函数f(x)= – x – 3x + 5的零点所在的大致区间为（）

A.(– 2，0)B.(1，2)C.(0，1)D.(0，0.5)

【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识

已知f(x)x22x3a，求a取何值时能分别满足下列条件.①有2个零点;②3个零点;③4个零点.

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