第二章系统的数学模型 机械工程控制基础 教案_第二章系统的数学模型
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Chp.2 数学模型
基本要求
(1)了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电子网络的微分方程。
(2)掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。(3)能够用分析法求系统的传递函数。
(4)掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。(5)了解传递函数方框图的组成及意义； 能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框图，并实现简化，从而求出系统传递函数。
(6)掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。
(7)了解相似原理的概念。(8)了解系统的状态空间表示法。重点与难点 本章重点
(1)系统微分方程的列写。
(2)传递函数的概念、特点及求法； 典型环节的传递函数。(3)传递函数方框图的绘制及简化。本章难点
(1)系统微分方程的列写。(2)传递函数方框图的绘制及简化。
数学模型：用以描述系统动态特性的数学表达式。
微分方程（最基本，时域）差分方程
传递函数（基本数学工具，复数域）状态方程
频率特性（便于实验获得，频域）
如何建立数学模型？（1）初步建立：用物理学、力学知识。
（2）验证：理论和实验方法→获得较精确的数学模型。
§1 微分方程
1、一般表达式：
若ai、bj为常数→线性定常系统；
ai、bj是t的函数→线性时变系统；
ai、bj依赖于xo，xi→线性时变系统。
2、叠加原理：线性系统满足
设xi1(t)→xo1(t)xi2(t)→xo2(t)则a1xi1(t)+a2 xi2(t)→b1x01(t)+b2 x02(t)各输入产生的输出互不影响。分析多输入的总输出时，可单独分析单输入产生的输出，然后将输出量叠加。
系统干扰N(S)也可以看作一种输入。按线性叠加原理：
N(s)=0时，Xi(s)=0时，同时作用：
x0(s)几乎仅跟随xi(s)变化，N(s)影响很小。
若H(s)=0，则x02(s)=G2(s)N(s)很大 若系统参数变化，对系统的影响如同干扰。
§2 传递函数
传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具．是在Laplace变换基础上建立起来的一种数学模型。对微分方程进行Laplace变换可将其化为代数方程。
① 表达的数学模型更直观，物理意义更明确；
② 将实数域的微积分运算→复数域的代数运算；
③ 有时无须解题，直接在G(S)基础上导出系统的某些动态特性； ④ 在G(S)基础上直接导出G(ω)，进行频域法分析。
一、概念 对线性微分方程：
设初始条件为0（t
定义：系统的传递函数G(S)为：
讨论：
（1）G(S)代表系统本身固有特性，与输入量大小及性质无关；
（2）G(S)可以无量纲；
（3）n≥m 原因：实际系统总有惯性；
（4）不同系统可用同一G(S)表达；
（5）系统G(S)可化为各环节Gi(S)的组合。
二、开环与闭环系统的传递函数
定义：前向通道传递函数
反馈回路传递函数
开环传递函数
闭环传递函数
推导如下：
讨论（1）Gk(S)无量纲，GB(S)可有可无量纲；
（2）相加点B(S)为负，→分母处为正“+”
相加点B(S)为正，→分母处为正“-”；
（3）若H(S)=1（单位反馈系统）则
三、干扰作用的G(S)
系统干扰N(S)也可以看作一种输入。按线性叠加原理：
N(s)=0时，Xi(s)=0时，同时作用：
x0(s)几乎仅跟随xi(s)变化，N(s)影响很小。
若H(s)=0，则x02(s)=G2(s)N(s)很大
若系统参数变化，对系统的影响如同干扰。
四、零点和极点
对零点：使G(s)=0的zj(j=1、2、…m)极点：使G(s)=∞的pi(j=1、2、…n)
（因式分解，l为常数）
讨论：（1）闭环G(s)的极点就是闭环系统特征方程的根。
（2）极点pi均在复平面的左半平面内，则系统是稳定的。
五、环节的串并联
复杂系统可划分成多环节组成，一般将复杂系统划分成零、一阶、二阶典型环节的串并联组合。
1、环节串联：
对n个环节串联
2、环节并联：
对n个环节并联
如何划分环节？环节划分取决于组成系统的各物理元件（或环节、子系统）是否有负载效应。
→可能几个物理元件的特性才组成一个传递函数的环节。→可能一个物理元件的特性分散在几个传递函数元件之中。
§
3、典型环节的传递函数
将复杂系统化成典型环节Gi(s)的串并联组合，就容易获得整个系统的G(s)。
一、比例环节（放大～，零阶～）
动力学方程：x0(t)=kxi(t)→x0不失真、不延迟、按比例反映xi。
二、惯性环节（一阶惯性环节）：
微分方程：Tx＇+x0=kxi →
惯性的含义：系统中含有储能元件（L、C、阻尼C、弹簧k）
其输出落后于输入，由时间常数决定。
三、微分环节：
xo(t)=Txi＇(t)输出正比于输入的微分 → G(s)=Ts 不能单独存在，只能与其它环节共存。微分环节的作用：
（1）使输出提前：（预测输入）（2）增加系统的阻尼：
（3）强化噪声作用：对噪声也能预测，对噪声灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。
四、积分环节：
→
五、振荡环节（二阶振荡环节）：
振荡环节是二阶环节中的0≤ξ＜1
运动方程：Tx0″+T0x0′+x0=kxi
（零输入条件）
六、延时环节：
ωn:无阻尼固有频率，T=1/ωn ：时间常数，阻尼比0≤ξ＜1 x0(t)=xi(t-τ)输出滞后输入τ，但不失真，一般不单独存在。滞后原因：如启动时要克服摩擦力、内应力、液压气动管长。延时τ一般由实验测得。
因为
所以
＃延时环节与惯性环节的区别：
延时环节τ较小时，按泰勒展开后近似为惯性环节。
区别：惯性环节：一旦有输入便立刻有输出，但需延时τ才能接近所需要的输出量；
延时环节：一旦有输入，不会立刻有输出，需延时τ才有输出，而输出会立刻不失真地反映输入。
＃死区与惯性环节：机械传动副的间歇引起死区。
相同点：在输入开始一段时间后才有输出。
不同点：延时环节的输出完全等同于从一开始起的输入。
死区，输出只反映同一时间的输入的作用，而对死区段的输入作用，其输出无任何作用。
注意：选择不同输入、输出量可改变G(s)的形式，但不会改变系统本身的固有动态特性。
§
4、G(s)框图
系统特性可用微分方程或传递函数表示，也可用框图表示。每个框内是该环节的传递函数，按信号流向用箭头联系，便组成整个系统的传递函数框图。
优点：① 便于评价各环节对系统的影响；
② 利用框图简化，很方便列写整个系统的传递函数；
③ 形象反映各环节、各变量之间的关系。框图变换与化简：
实际系统多为大环套小环的多回路复杂系统G(s)框图。
变换：a)某些框图作位置上的变换； b)增加或取消一些框图。
1、变换原则：变换前后系统等效（输入、输出不变）
① 分支点：信号由一点分开的点。
前移：分支回路上串入具有相同函数的框图； 后移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图。② 相加点：对信号求代数和的点。
前移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图； 后移：分支回路上串入具有相同函数的框图。
2、框图简化：
将套环解开，成为典型闭环传递函数的框图形式。
3、传递函数的直接列写：
条件：① 仅一条前向通道；
② 各反馈环间存在公共传递函数框图。
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