高等代数教案模板（精选5篇）_高等代数教案

高等代数教案模板（精选5篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高等代数教案”。

第1篇：高等代数与高等数学

高等代数与高等数学的区别

高等代数、数学分析是数学专业中更细的数学研究的分类。高等代数是代数方向的究，而数学分析使用极限方法研究函数特性的数学。而高等数学是对非数学专业的人学习的区别于初等数学的数学，应当包括高等代数和数学分析部分。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。

其研究对象不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。

第2篇：高等代数教案第一章基本概念

第一章

一 综述

基本概念

1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点

1.重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2.难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1

集

合一 教学思考

1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求

1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程

1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A、B、C表示集合,用小写字母a、b、c表示集合的元素.若a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,或者说A包含a.若a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,或者说A 不包含a.常采用两种方法：

（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如A1,2,3,.（2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如Bx|x3x40表示方程

2x23x40的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）： 有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用表示.约定：是任何集合的子集.3．集合间的关系：

（1）设A、B是两个集合.“xAxB”）子集：若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集（即若..记作AB

如：f:RR,xx;g:RR,x2．映射的合成x2.有fg.（1）定义3.设f:AB,g:BC是两个映射,对xA,有f(x)B,从而g(f(x))C,这样,对xA,就有C中唯一的g(f(x))与之对应,就得到A到C的一个映射,这个映射是由f:AB和g:BC所决定的,称为f与g的合成.记作gf.即：gf:AC,xg(f(x)).例子：f:RR,xx2;g:RR,xsinx.则

gf:RR,xsinx2;fg:RR,xsin2x.（2）映射合成满足结合律：

设f:AB,g:BC,h:CD,则由合成映射的定义可得AD的两个映射：h(gf),(hg)f,则h(gf)(hg)f.3．几类特殊映射

定义4.设f:AB,对xA,有f(x)B,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)f(x)|xA,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象.（1）满射: 定义5.设f:AB是一映射,若f(A)B,则称f是A到B上的一个映射,也称f是一个满射.（2）单射: 定义6.设f:AB是一个映射,若对x1,x2A,只要x1x2,就有f(x1)f(x2),则称f是A到B的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7.若f:AB既是单射又是满射,即

1）若 f(x1)f(x2)x1x2,x1,x2A；

2）f(A)B.则称f是A到B的一个双射.特别若f是A到A上的一个1-1对应,就称f为A的一个一一变换；有限集A到自身的双射称为A的一个置换.如：jA是A的一个一一变换,同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若f:AB,则有fjAf,jBff.TH1.2.1令f:AB是一个映射,则：下述两条等价：1）f是双射；2）存在g:BA使得gfjA,fgjB.且2）成立时,其中的g由f唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射

定义8.设f:AB,若存在g:BA,使得gfjA,fgjB,则称f是可逆映射,且称g为f的逆映射.求其逆的方法

由定理知：f:AB可逆f是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为g:BA,yx（若f(x)y)（即对yB,找在f下的原象）.（5）代数运算

引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(a,b),有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是ZZZ的一个映射：:(a,b)ab.同样实数乘法亦然.一般地：

定义9.设A是一个非空集合,我们把AAA的一个映射叫做集合A的一个代数运算.若集合A 有代数运算,也说A对封闭.要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1.整除、带余除法（1）整除

这时a叫做b的一个因数,而b叫做a的一个倍数.若a不整除b（即对dZ,adb）,记作a|b.B）整除的性质：

1）a|b,b|ca|c；

（传递性）2）a|b,a|ca|(bc);3）a|b,cZa|bc；

4）由2）、3）a|bi,ciZ,i1,2,3,,na|bcii；

5）1|a,a|0,a|a(aZ)；由此任意整数a有因数1,a,它们称为a的平凡因数； 6）若a|ba|b；

7）a|b且b|aab或ab.（对称性）(2)带余除法

“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：

TH1.4.1(带余除法)设a,bZ,且a0；那么q,rZ使得baqr

且0ra.满足上述条件的q,r是唯一的.2.最大公因数、互素（1）最大公因数

且c|a,c|bc|d（即d能被a与b的任一个公因数整除）.则称d为a与b的一个最大公因数.最大公因数的概念可推广至有限个整数.B）最大公因数的存在性（及求法）

TH1.4.2 任意n(n2)个整数a1,a2,,an都有最大公因数；若d为a1,a2,,an的一个最大公因数,则d也是；a1,a2,,an的两个最大公因数至多相差一个符号.C）性质

TH1.4.3 设d为a1,a2,,an的一个最大公因数,那么t1,t2,,tnZ使得A）定义1.设a,bZ,若dZ使得bad,则称a整除b（或b被a整除）.用符号a|b表示.d|a且d|bA）定义2.设a,bZ,dZ,若d满足：1）（即d是a与b的一个公因数）；2）若cZdt1a1ta22tnan.略证：若a1a2an0,则d0,从而对tiZ都有0t1a1t2a2tnan；若ai不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素

定义3.设a,bZ,若(a,b)1,则称a,b互素；一般地设a1,a2,,anZ,若(a1,a2,,an)1,则称a1,a2,,an互素.3.素数及其性质

（1）定义4.一个正整数p1叫做一个素数,若除1,p外没有其他因数.（2）性质

1）若p是一个素数,则对aZ有(a,p)p或(a,p)1.（注意转换为语言叙述,证易；略）

2）aZ且a0,1；则a可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p是一个素数,a,bZ,若p|ab,则p|a或p|b.TH1.4.4 n个整数a1,a2,,an互素t1,t2,,tnZ使得t1a1t2a2tnan1.-

第3篇：浙江大学高等代数试题

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题

考试科目：高等代数科目代号：341

注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！

一、(15分)矩阵A,B具有相同的行数，把B的任意一列加到A得到矩阵秩不变，证明把B的所有列同时加到A上秩也不变.二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按x的幂次排列的多项式

a11xD

a21x...an1x

a12xa22x...an2x

.....a1nxa2nx...annx

(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.三、(15分)证明下面的(i)和(ii)等价：(i)矩阵A是正交矩阵；

(ii)矩阵A的行列式为1；当A1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当A－1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.a

四、(15分)(1)设矩阵A

c

k

b2

,则矩阵A满足方程x(ad)xadbc0;d

(2)二阶矩阵满足A0,k2,则A0.3



五、(15分)设矩阵A2

2

232

20

2,P1

30

0

1*

1,BPAP2E,求B的特征值和特征向量.1

六、(15分)设W,W1,W2是向量空间V的子空间，W1W2,W1WW2W,W1WW2W,证明W1W2.七、(15分)三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.八、(15分)设是向量空间V的正交变换，W是的不变子空间，证明W也是的不变子空间.九、(15分)设A为实矩阵，证明存在正交矩阵G，使GA的特征值均为实数.十、(15分)设P为数域，fifi(x)P[x],gigi(x)P[x],i1,2,证明(f1,g1)(f2,g2)(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)

1



AG为上三角矩阵的充要条件是

注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！dragonflier

2006-1-16

第4篇：高等代数课程建设规划

高等代数课程建设规划

高等代数是高等院校数学专业最重要的基础课程之一，以高等代数为基础（或者说作为它的直接延伸）的专业课有近世代数、泛函分析、微分方程、高等几何、数值分析、离散数学、运筹学、线性规划及数学建模等。高等代数的教学进程对计算机、物理、电子等专业的线性代数的教学有着直接、重要的影响。高等代数的内容不仅是学习后继课程不可缺少的基础知识，而且较多地体现着数学中严密的逻辑推理方法和计算方法，高等代数的理论和方法是基础数学和应用数学的重要基础。我系高等代数课程的教学任务由基础数学教研室承担。现有主讲教师3名，年龄结构、职称结构基本合理，在前辈教师的言传身带下，全体教师形成了爱岗敬业、团结协作的优良传统和治学严谨的作风。建立一支学术水平高、素质优良、团结进取的任课教师队伍是课程建设的根本。但是，由于学生人数多，教师教学负担过重，经费少，资料设备不足等因素严重制约着我们教学科研活动的进一步开展，为了不断提高高等代数课程的教学质量，把高等代数课程建设提高到新的水平，全体教师将积极克服困难，主动地，争取系上、学院的大力支持，采用走出去，请进来、开展教学研究活动等形式，努力的促进教师学业水平、学历层次和教学质量的提高。通过二至三年的课程建设，使担任高等代数课程教学的教师大多数教师具有高级职称。

我们将积极利用系内、学院现有的图书资料和设备、并积极运用申请来的有限经费，积极开发教学课件；建好《高等代数》课程试题库;认真钻研教学内容，精心设计教学方案，合理运用现代化教学手段、创造条件努力提高教学质量。逐步实现理论教学与实践教学并重，积极开展实验教学，引导学生利用高等代数上所学的知识去解决其他学科以及实际中的问题，鼓励学生开展科学研究活动。多年来，我们在高等代数这门课程的教学中，采用课堂讲授为主，配合进行一些课堂讨论，布置作业、批改评讲，考试测评的传统模式，在此过程中，特别是在近些年课程改革的推动下，各任课教师在教材处理和教学方法等方面做了不少工作，进行了许多改革尝试。我们将以课程建设为动力，继续进行多方面的改革。我们的努力方向是：探索总结行之有效的教学模式并积极推广；在课程教学中，不但培养学生的严格逻辑推理能力，也注重培养学生的直觉能力；在培养学生分析问题、解决问题能力的同时，注重培养学生提出问题的能力；要培养学生科学思维能力，更要注重培养学生创新能力，使学生的综合数学素质不断得到提高。本课程的建设目标、步骤及五年内课程资源上网时间表 1.建设目标: 力争在3年内，将本课程建设具有一流教学队伍，一流教学内容，一流教学管理的示范性课程。

重点建设内容为：

⑴建立完善的课程体系，完善的网络教学资源。⑵改革教学方式、方法，合理利用现代化教学手段。

⑶逐步更新课程理论教学内容，增添实验教学内容，不断提高教学水平。

2.建设步骤: ⑴加强师资队伍梯队建设，可望3年后增加教授2名，副教授2名，讲师5名，助教3名。⑵补充完善教学素材库。⑶完善立体化教材建设。⑷更新、补充网上教学内容。⑸建设本课程试题库。⑹建立网上讨论、答疑系统。

第5篇：高等代数机算讲稿

矩阵的基本运算

1.矩阵赋值方法；

2.矩阵加法、数乘、转置和乘法运算； 3.矩阵幂运算及逆运算； 4.矩阵元素群运算； 5.演算矩阵的运算规则。

例1.1 用MATLAB软件生成以下矩阵：

932100（1）A656（2）B010 6600011100（3）C（4）D1001111111 111111解：（1）在MATLAB命令窗口输入： A=[9,3,2;6,5,6;6,6,0] 或：A=[9 3 2;6 5 6;6 6 0] 或：A=[9 3 2 6 5 6 6 6 0] 结果都为： A = 9 3 2 6 5 6 6 6 0（2）输入： B=eye(3)结果为： B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1（3）输入： C = zeros(2)结果为： C = 0 0 0 0（4）输入： D = ones(4)结果为：D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 例1.2 随机生成两个3阶方阵A和B，分别计算：（1）A＋B；（2）A－B；（3）5A；（4）AB；（5）AT 解：输入：

A=round(rand(3)*10)B=round(rand(3)*10)结果为： A = 10 2 3 5 10 9 9 3 7 B = 1 2 3 0 3 5 9 7 1（1）输入： A＋B 结果为： ans = 11 4 6 5 13 14 18 10 8 其中“ans”表示这次运算的结果。（2）输入： A－B 结果为： ans = 9 0 0 5 7 4 0-4 6（3）输入： 5*A 结果为： ans = 50 10 15 25 50 45 45 15 35（4）输入： A*B 结果为： ans = 37 47 43 86 103 74 72 76 49（5）输入 A’ 结果为 ans = 10 5 9 2 10 3 3 9 7 例1.3 已知矩阵A123010，217分别计算：（1）A5；（2）A1

解：输入：

A=[1,2,3;0,1,0;2,1,7] 结果为： A = 1 2 3 0 1 0 2 1 7（1）输入： A^5 结果为： ans = 3409 2698 11715 0 1 0 7810 6177 26839（2）输入： inv(A)或输入A^-1 结果都为： ans = 7-11-3 0 1 0-2 3 1

695662例1.4已知矩阵A052，B104，291281且满足PAB，AQB，计算矩阵P和Q。解：方法一：利用求逆矩阵的方法，输入：

A=[6,9,5;0,5,2;2,9,1] B=[6,6,2;1,0,4;2,8,1] P=B*inv(A)Q=inv(A)*B 方法二：利用MATLAB软件特有的矩阵 “左除”和“右除”运算，输入： A=[6,9,5;0,5,2;2,9,1] B=[6,6,2;1,0,4;2,8,1] P=B/A % 矩阵右除 Q=AB % 矩阵左除 两种方法的运算结果都为： A = 6 9 5 0 5 2 2 9 1 B = 6 6 2 1 0 4 2 8 1 P = 0.8043-1.3043 0.5870 0.5761 1.1739-1.2283 0.0435-0.0435 0.8696 Q = 0.6087 1.4565-1.2065 0.0435 0.7826 0.2174 0.3913-1.9565 1.4565 503213，6例1.5 已知矩阵A620，B30452701分别按以下要求进行矩阵元素的群运算：

（1）把矩阵A和矩阵B所有对应元素相乘，得到9个乘积，计算由这9个数所构成的同形矩阵C。（2）对矩阵A中的所有元素进行平方运算，得到矩阵D，求该矩阵。

解：Matlab软件提供了矩阵元素群运算的功能，输入：

A=[5,0,3;6,2,0;7,0,1] B=[2,1,3;3,0,6;4,5,-2] 结果为： A = 5 0 3 6 2 0 7 0 1 B = 2 1 3 3 0 6 4 5-2（1）输入：

C=A.*B 结果为： C = 10 0 9 18 0 0 28 0-2（2）输入： D=A.^2 结果为： D = 25 0 9 36 4 0 49 0 1

abc1例1.6 生成符号矩阵Abca，B3cab222130.13解 可用命令A= sym（'[a b c;b c a;c a b] '）或 syms a b c

A = [a b c;b c a;c a b] B=sym([1 2 3;3 sqrt(2)0;2-1 1/3])命令来实现，其中sqrt为平方根函数.结果如下： A = [ a, b, c] [ b, c, a] [ c, a, b] B = [

1,2,3]

[

3, sqrt(2),0] [

2,-1,1/3]行列式与方程组的求解

1.2.3.4.5.6.求行列式的命令； 求矩阵秩的命令；

求矩阵的最简行矩阵的命令； 满秩线性方程组的各种方法； 符号变量的应用；

验证与行列式相关的公式和定理。

例2.1 已知非齐次线性方程组：

6x12x23x34x45x52x3x7x10x13x123453x15x211x316x421x52x7x7x7x2x234517x13x25x33x410x5805990，2285要求用下列方法求解该方程组。（1）求逆矩阵法；（2）矩阵左除法；（3）初等行变换；（4）克莱姆法则。解：（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：

Axb，则xA1b，直接在MATLAB的命令窗口输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];6

b=[80;59;90;22;85];x=inv(A)*b %或：x=A^-1*b 计算结果为： x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式Axb，可用左除法

等式两端同时左除A，得到：“xAb”，即xAb

针对矩阵方程XAB，可用右除法，等式两端同时右除A，XB/A，即XBA1

在MATLAB命令窗口中输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];x=Ab % 符号“”即为左除运算，注意它的方向。结果为： x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.0000 2.0000（3）用初等行变换，把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，从而得到方程组的解。在MATLAB命令窗口中输入：

A=[6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10];b=[80;59;90;22;85];U=rref([A,b])运算结果为： U = 1 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2

1 7

（4）根据克莱姆法则，有：xi其中D是方程组的系数行列式，Di，DDi是用常数列向量b代替系数行列式的第i列所得到的行列式。

用Matlab的M文件编辑器，编写la01.m文件如下： % 用克莱姆法则求解方程组

clear % 清除变量

n=input('方程个数n＝')% 请用户输入方程个数

A=input('系数矩阵A=')% 请用户输入方程组的系数矩阵 b=input('常数列向量b=')% 请用户输入常数列向量 if(size(A)~=[n,n])|(size(b)~=[n,1])

% 判断矩阵A和向量b输入格式是否正确

disp('输入不正确,要求A是n阶方阵，b是n维列向量')% disp：显示字符串 elseif det(A)==0 % 判断系数行列式是否为零 disp('系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。')else for i=1:n % 计算x1,x2,...xn B=A;% 构造与A相等的矩阵B B(:,i)=b;% 用列向量b替代矩阵B中的第i列 x(i)=det(B)/det(A);% 根据克莱姆法则计算x1,x2,...xn end x=x' % 以列向量形式显示方程组的解 end 在MATLAB命令窗口中输入： la01 得到以下人机对话结果： 方程个数n＝5 n = 5 系数矩阵A= [6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10] A = 6 2 3 4 5 2-3 7 10 13 3 5 11-16 21 2-7 7 7 2 7 3-5 3 10 常数列向量b=[80;59;90;22;85] b = 80 8

90 22 85 x = 9 3 2 1 2 72646136311例2.2求矩阵A311952

3029330181147的逆，要求用以下方法：

（1）矩阵左除和右除运算；（2）初等行变换；

A*（3）利用伴随矩阵A求逆的公式A。

A*1解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la02.m： % 逆矩阵各种求法： clear A=[-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4];% 1.命令法： An1=inv(A)% 2.幂运算法： An2=A^-1 % 3.右除法：

An3=eye(5)/A % eye(5)为5阶单位矩阵 % 4.左除法： An4=Aeye(5)% 5.初等行变换法：

B=rref([A,eye(5)]);% 对矩阵[A , I] 进行初等行变换

% B为矩阵A的最简行阶梯矩阵

if(rank(B(:,1:5))==5)% 判断最简行阶梯矩阵B的前5列是否为单位阵

An5=B(:,6:10)% 取出矩阵的后5列，并显示 else disp('A不可逆');end % 6.伴随矩阵求逆法：

for i=1:5 % 构造伴随矩阵的5×5个元素

for j=1:5 T=A;% 把矩阵A赋给矩阵T T(i,:)=[];% 删去矩阵T的第i行 T(:,j)=[];% 删去矩阵T的第j列

% 此时，|T| 为矩阵A元素aij的余子式 AA(j,i)=(-1)^(i+j)*det(T);

% 算出aij的代数余子式

% 并放入矩阵AA的第j行、第i列

% 当循环结束，矩阵AA即为A的伴随矩阵

end end if det(A)~=0 An6=AA/det(A)else disp('A不可逆');end 运算程序la02，前四个方法计算结果相同： 1.0e+004 *-1.5895 1.3448-1.0646 1.6206-0.6308 1.6298-1.3789 1.0916-1.6617 0.6468 2.5392-2.1483 1.7007-2.5889 1.0077 0.3631-0.3072 0.2432-0.3702 0.1441 0.9860-0.8342 0.6604-1.0053 0.3913 后两个方法计算结果相同：

-15895 13448-10646 16206-6308 16298-13789 10916-16617 6468 25392-21483 17007-25889 10077 3631-3072 2432-3702 1441 9860-8342 6604-10053 3913 从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩阵。如果在Matlab环境下，键入： format long 然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差，这是计算机做数值运算时，存在舍入误差的原因。为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差，123现在用上述六种方法来计算矩阵A101010的逆，111213A=[1,2,3;10,10,10;11,12,13] 前四种方法得到以下类似结果：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND = 2.135044e-018.ans = 1.0e+015 *-4.5036-4.5036 4.5036 9.0072 9.0072-9.0072-4.5036-4.5036 4.5036 显然此结果是不正确的，因为A不可逆。

3例2.3 解方程：

21113311220。357x222x2解：Matlab软件定义了“符号变量”的概念。在MATLAB的M文件编辑器中，应用“符号变量”编写程序la03.m： % 求解符号行列式方程

clear all % 清除各种变量

syms x % 定义x为符号变量 A=[3,2,1,1;3,2,2-x^2,1;5,1,3,2;7-x^2,1,3,2]

% 给矩阵A赋值

D=det(A)% 计算含符号变量矩阵A的行列式D f=factor(D)% 对行列式D进行因式分解

% 从因式分解的结果，可以看出方程的解 X=solve(D)% 求方程“D＝0”的解 在MATLAB的命令窗口输入： la03 运行结果为： A = [ 3, 2, 1, 1] [ 3, 2, 2-x^2, 1] [ 5, 1, 3, 2] [ 7-x^2, 1, 3, 2] D =-6+9*x^2-3*x^4 f =-3*(x-1)*(x+1)*(x^2-2)X = [ 1] [-1] [ 2^(1/2)] [-2^(1/2)] 例2.4 请用Matlab软件验证行列式按行（列）展开公式：

a11A11a12A12a15A15A

a11A31a12A32a15A350

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la04.m： % 验证行列式按行（列）展开公式 clear A=round(10*randn(5));% 构造5阶随机数方阵 D=det(A);% 计算矩阵A的行列式 % 矩阵A按第一行元素展开：s=a11*A11+a12*A12+„+a15*A15 s=0;for i=1:5 T=A;T(1,:)=[];% 删去阵矩第1行 T(:,i)=[];% 删去矩阵第i列

% 此时，|T| 为矩阵A元素a1i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(1+i)*det(T);end e=D-s % 验算D与s是否相等 在MATLAB的命令窗口中输入： la04 计算结果为： e = 0 在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05.m：

% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和： % s=a11*A31+a12*A32+„+a15*A35 clear A=round(10*randn(5));% 构造5阶随机数方阵 s=0;for i=1:5 T=A;T(3,:)=[];% 删去矩阵第3行 T(:,i)=[];% 删去矩阵第i列

% 此时，|T| 为矩阵A元素a3i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)^(3+i)*det(T);end s % 验算s是否为0 在MATLAB命令窗口中输入： la05 计算结果为： s = 0

11231例2.5 求A221，B234313121314131的逆矩阵.415解

format rat

%用有理格式输出 A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];AN=inv(A)或 AN=A^(-1)B=hilb(3)BN= B^（-1）或BN= inv(A)或

BN=invhilb(B)

% invhilb为求希尔伯特矩阵的逆的函数 显示结果如下：

AN =

-3/2

5/2

BN =

192

-180

-180

180

由于希尔伯特矩阵的条件数很大,不同的算法求其逆的精度有所不同,可以上机比较几种求矩阵逆的函数的差别.11bb21cc21dd2例2.5 计算行列式的aa2值.a4b4c4d4解

在MATLAB编辑器中建立M文件： syms a b c d

A=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];d1=det(A)d2=simple(d1)

%用 simple函数化简表达式d1 pretty(d2)

%用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯.则结果显示为： d1 = b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+a^4*b^2*c

d2 =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b)(-d + c)(bc)(-d + a)(ab)(a + c + d + b)

函数

rank 格式

k = rank(A)

%求矩阵A的秩

k = rank(A,tol)

%tol为给定误差下计算矩阵的秩

例2.6求向量组1(1223)，2(2413)，3(124(0623)，5(2634)的秩，并判断其线性相关性.解

A=[1-2 2 3;-2 4-1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2-6 3 4];k=rank(A)结果为 k =由于秩为3小于向量组所含向量个数，因此向量组线性相关.3 向量组的相关性及方程组的通解

1.分析向量组线性相关性的方法； 2.求解线性方程组通解的各种方法；

例3.1求非齐次线性方程组

03)，2x14x2x34x416x523x6x2x6x23x712345的通解。3x16x24x36x419x523x12x25x32x419x543解：在MATLAB命令窗口，输入以下命令：

A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];% 输入系数矩阵A b=[-2;7;-23;43];% 输入常数列向量b [R,s]=rref([A,b])% 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s 计算结果为： R = 1 2 0 2 9 3 0 0 1 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s = 1 3 程序la06.m给出非齐次方程组的通解。% 求非齐次线性方程组的通解 clear A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];% 输入系数矩阵A b=[-2;7;-23;43];% 输入常数列向量b [R,s]=rref([A,b]);% 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s [m,n]=size(A);% 矩阵A的行数、列数赋给了变量m、n x0=zeros(n,1);% 将特解x0初始化为N维零列向量 r=length(s);% 矩阵A的秩赋给变量r x0(s,:)=R(1:r,end);% 将矩阵R的最后一列按基准元素的位置给特解x0赋值 disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0 % 显示特解x0 disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')% 得到齐次线性方程组Ax＝0的基础解系x，求A的零空间，Ax=0 在MATLAB命令窗口中输入： la06 运算结果为：

非齐次线性方程组的特解为： x0 = 3 0 8 15

0 0 对应齐次线性方程组的基础解系为： x =-2-2-9 1 0 0 0 0-2 0 1 0 0 0 1 22931000则方程组的通解为：k10k20k328

01000010齐次线性方程组的特解还可以用

Matlab的矩阵左除运算来求得，直接在MATLAB命令窗口输入以下命令：

A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19];b=[-2;7;-23;43];x0=Ab % 用矩阵左除运算求得方程组特解x0 x=null(A,'r')% 得到齐次线性方程组Ax＝0的基础解系x 运算结果为：

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.3099e-014.x0 = 0 0 7.3333 0 0.3333 x =-2-2-9 1 0 0 0 0-2 0 1 0 0 0 1 22901000方程组的通解为：k10k20k32223

010000113例3.2 已知向量组

132961433210，20，30，42，52，2861923122求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。解：用笔计算的过程为： 编写Matlab程序la07.m：

% 找向量组的最大无关组，并用它线性表示其它向量 clear a1=[1;1;0;2;2];% 输入5个列向量 a2=[3;4;0;8;3];a3=[2;3;0;6;1];a4=[9;3;2;1;2];a5=[6;-2;2;-9;2];A=[a1,a2,a3,a4,a5];% 由5个列向量构造矩阵A [R,s]=rref(A);% 把矩阵A的最简行阶梯矩阵赋给了R % 而R的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量s % 向量s中的元素即为最大无关组向量的下标 r=length(s);% 最大无关组所含向量个数赋给r fprintf('最大线性无关组为：')% 输出字符串 for i=1:r fprintf('a%d ',s(i))% 分别输出最大无关组的向量a1，„ end for i=1:r % 从矩阵A中取出最大无关组赋给A0 A0(:,i)=A(:,s(i));end A0 % 显示最大无关组矩阵A0 s0=[1,2,3,4,5];% 构造行向量s0 for i=1:r s0(s(i))=0;% s(i)是最大无关组的列号

end % 若s0的某元素不为0，表示该元素为矩阵A中

% 除最大无关组以外其它列向量的列号

s0=find(s0);% 删除s0中的零元素

% 此时s0中元素为其它向量的列号 for i=1:5-r % 用最大无关组来线性表示其它向量

fprintf('a%d=',s0(i))for j=1:r fprintf('%3d*a%d+ ',R(j,s0(i)),s(j));end fprintf('bb n');% 去掉最后一个”+” end 在MATLAB命令窗口中输入：

la07 运行结果为：

最大线性无关组为：a1 a2 a4 A0 = 1 3 9 1 4 3 0 0 2 2 8 1 2 3 2 a3=-1*a1+ 1*a2+ 0*a4 a5= 3*a1+-2*a2+ 1*a4

例3.22

求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量，其121242中A210333解

format rat 0266.2334A=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4];B=rref(A)运行结果得

B =

0

1/3

0

16/9

0

2/3

0

-1/9

0

0

0

-1/3

0

0

0

0

0

记矩阵A的五个列向量依次为1，2，3，4，5则 1，2，4 是列向量组的一个最大无关组.且有，312，5

例3.3 已知齐次线性方程组：

13231611124.99312kx13x23x33x403x2kx3x3x01234，3x13x22kx33x403x13x23x311kx40

当k取何值时方程组有非零解？

在有非零解的情况下，求出其基础解系。

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la08.m % 计算带符号变量的齐次线性方程组的解 clear syms k % 定义符号变量k A=[1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k];% 给系数矩阵赋值 D=det(A);% 算出系数矩阵的行列式D kk=solve(D);% 解方程“D＝0”，得到解kk，即k值 for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i));% fprintf('当k=');disp(kk(i));% fprintf('基础解系为：n');disp(null(AA))% end 在MATLAB命令窗口中输入： la08 运算结果为： 当k=7/2 基础解系为： [ 1] [ 2] [ 2] [-2] 当k=14 基础解系为： [ 1] [ 2] [ 2] [ 5] 当k=-1 基础解系为： [-1,-1] [ 1, 0] [ 0, 1] [ 0, 0] 当k=-1 基础解系为： [-1,-1] [ 1, 0] [ 0, 1] [ 0, 0]

分别把k值代入系数矩阵A中 显示k的取值 计算齐次线性方程组“Ax=0”的基础解系特征向量与二次型

1.2.3.4.5.对向量组正交化；

求方阵特征值和特征向量； 分析方阵是否可对角化； 化二次型为标准型； 分析对称阵是否正定；

例4.1 设向量组：

115，1，1，1223320求由这三个向量生成的子空间V的一个标准正交基。解：在MATLAB命令窗口输入：

a1=[1;2;3];a2=[-1;1;2];a3=[5;1;0];A=[a1,a2,a3] P=orth(A)% 将矩阵A的列向量组正交规范化，% P的列构成了空间V的一个标准正交基 % P的列数反应了空间V的维数

运算结果为： P =-0.9266 0.3359-0.3116-0.4343 20

-0.2105-0.8358 从矩阵P的列数可以看出，原向量组是线性相关的，它生成的空间是二维的。

MATLAB中将矩阵正交三角分解的函数为qr.命令

qr

格式

[Q,R]=qr(A)

%将矩阵A分解为正交Q与上三角矩阵R的乘积.命令

orth

格式

B=orth(A)

%给出矩阵A列空间的一组标准正交基B

%且满足：B'*B = eye(rank(A)).400例4.12

将矩阵A031的列向量组正交规范化并把其正交三角分解.013解：

A=[4 0 0;0 3 1;0 1 3];B=orth(A)[Q,R]=qr(A)则显示结果为 P =

1.0000

0

0

0

0.7071

-0.7071

0

0.7071

0.7071 Q =

1.0000

0

0

0

-0.9487

-0.3162

0

-0.3162

0.9487 R =

4.0000

0

0

0

-3.1623

-1.8974

0

0

2.5298

222019216911的特征值。例4.2 求矩阵A84610847解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写la09.m文件，它给出了三种求矩阵特征值的方法： % 矩阵特征值的求解方法 clear 21

A=[2,-2,-20,-19;-2,16,-9,11;-8,4,-6,1;0,-8,-4,-7];%方法一：

syms k % 定义符号变量k B=A-k*eye(length(A));% 构造矩阵B=(A-kI）D=det(B);% 计算行列式：|A-kI| lamda1=solve(D)% 求|A-kI|=0的符号形式的解 %方法二：

p=poly(A);% 计算矩阵A的特征多项式

% 向量P的元素为该多项式的系数 lamda2=roots(P)% 求该多项式的零点，即特征值 %方法三：

lamda3=eig(A)% 直接求出矩阵A的特征值 在MATLAB命令窗口中输入： la09 运算结果为： lamda1 = [ 12] [-1/3*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-385/3/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-7/3] [1/6*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/6/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-7/3+1/2*i*3^(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/3/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3))] [1/6*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/6/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)-7/3-1/2*i*3^(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674^(1/2))^(1/3)+385/3/(19585+120*22674^(1/2))^(1/3))] lamda2 =-17.3347 12.0000 5.1673 + 6.3598i 5.16736.3598i 12.0000 其中，方法一是根据笔算矩阵特征值的算法编写而成，MATLAB给出了一个符号形式的解，可以进一步把符号解转化为数值解，输入以下命令： lamda1=eval(lamda1)结果为： lamda1 = 12.0000-17.3347 5.1673-6.3598i 22

5.1673 + 6.3598i 例4.3 求下列矩阵A的特征值和特征向量，并判断矩阵是否可以对角化，若能对角化，请找出可逆矩阵V，使VAVD。

1123412（2）A212；(1)A213；

210112110（3）A430 101解：（1）在MATLAB命令窗口输入：

A=[1,2,3;2,1,3;1,1,2];[V,D]=eig(A)% 矩阵D为矩阵A的特征值构成的对角阵

% 矩阵V的列向量为矩阵A与特征值D对应的特征向量 运行结果为： V =-0.6396-0.7071-0.5774-0.6396 0.7071-0.5774-0.4264 0.0000 0.5774 D = 5.0000 0 0 0-1.0000 0 0 0 0.0000（2）在MATLAB命令窗口输入： A=[4,-1,-2;2,1,-2;2,-1,0];[V,D]=eig(A)运行结果为： V = 0.7276-0.5774 0.7437 0.4851-0.5774 0.2373 0.4851-0.5774 0.6250 D = 2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 2.0000 需要分析齐次线性方程组

A2Ix0解空间的维数是否等于2，在MATLAB命令窗口继续输入：

if 3-rank(A-2*eye(3))==2 23

% 判断齐次线性方程组(A2－2 I)x=0解空间的维数是否为2 disp('能对角化');

% 如果解空间维数为2，则存在2个线性无关特征向量

else disp('不能对角化');end 运行结果为： 能对角化

（3）在MATLAB命令窗口输入： A=[1,-1,0;4,-3,0;1,0,1];[V,D]=eig(A)运行结果为： V = 0 0.4364-0.4364 0 0.8729-0.8729 1.0000-0.2182 0.2182 D = 1.0000 0 0 0-1.0000 0 0 0-1.0000 从矩阵D可以看出，231

是矩阵A的二重特征根，在MATLAB命令窗口继续输入：

if 3-rank(A+eye(3))==2

% 判断齐次线性方程组(A2－2 I)x=0解空间的维数是否为2 disp('能对角化');

% 如果解空间维数为2，则存在2个线性无关特征向量

else disp('不能对角化');end 运行结果为： 不能对角化

例4.4 用正交变换法将二次型

fx1,x2,x3x12x22x34x2x3 222化为标准形。

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写la10.m文件：

% 用正交变换法将二次型化为标准型 clear A=[1,0,0;0,2,2;0,2,2];% 输入二次型的矩阵A [V,D]=eig(A);% 其中矩阵V即为所求正交矩阵

% 矩阵D为矩阵A的特征值构成的对角阵

% 或：[V,D]=schur(A)% 结果和eig()函数相同 disp('正交矩阵为：');V disp('对角矩阵为：');D disp('标准化的二次型为：');syms y1 y2 y3 f=[y1,y2,y3]*D*[y1;y2;y3] 在MATLAB命令窗口中输入： la10 运行结果为： 正交矩阵为： V = 0 1.0000 0-0.7071 0 0.7071 0.7071 0 0.7071 对角矩阵为为： D = 0 0 0 0 1 0 0 0 4 标准化的二次型为： f = y2^2+4*y3^2 矩阵V为所求正交矩阵，把xVy代入二次型fxAx，得：

TfxTAxyTVTAVyyTyy24y3。

22例4.42 求一个正交变换X=PY，将二次型

f2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4化成标准形.01111011 解

二次型的实对称矩阵为A11011110在MATLAB编辑器中建立M文件如下：

A=[0 1 1-1;1 0-1 1;1-1 0 1;-1 1 1 0];[V,D]=eig(A)

%特征值分解

syms y1 y2 y3 y4 y=[y1;y2;y3;y4]；

X=vpa(V'*y,2)

%vpa表示可变精度计算函数，这里取2位精度 f= y.'*D*y 运行后结果显示如下：

P =

-0.5000

0.5000

0.5000

-0.5000

0.2887

-0.2887

-0.2887

-0.8660

0.7887

0.2113

0.5774

0 0.2113

0.7887

-0.5774

0 D =

-3.0000

0

0

0

0

1.0000

0

0

0

0

1.0000

0

0

0

0

1.0000 X =-.50*y1+.50*y2+.50*y3-.50*y4

.29*y1-.29*y2-.29*y3-.85*y4

.79*y1+.21*y2+.56*y3

.21*y1+.79*y2-.56*y3 f =-3*y1^2+y2^2+y3^2+y4^2 222即

f3y12y2.y3y4还可以用orth函数简单求解如下： A=[0 1 1-1;1 0-1 1;1-1 0 1;-1 1 1 0];R=orth(A);D=inv(R)*A*R;P=inv(R)

%所用的变换矩阵 运行后结果显示如下： R =

0.5000

0

0.8660

-0.0000

-0.5000

-0.0000

0.2887

0.8165

-0.5000

0.7071

0.2887

-0.4082

0.5000

0.7071

-0.2887

0.4082 D =

-3.0000

0

0.0000

0.0000

0

1.0000

0

0.0000

-0.0000

0

1.0000

-0.0000

0.0000

0

0.0000

1.0000 P =

0.5000

-0.5000

-0.5000

0.5000

0

0.0000

0.7071

0.7071

0.8660

0.2887

0.2887

-0.2887

0

0.8165

-0.4082

0.4082

例4.5 判断下列矩阵的正定性：

113112；21（1）A1（2）B221； 115315211132；54（3）C2（4）D230

031145解：在MATLAB命令窗口输入：

A=[1,1,-1;1,2,-1;-1,-1,5];B=[1,2,3;2,2,-1;3,-1,5];C=[-3,2,1;2,-3,0;1,0,-3];D=[1,2,-1;2,5,-4;-1,-4,5];lamda_A=eig(A)lamda_B=eig(B)lamda_C=eig(C)lamda_D=eig(D)运行结果为： lamda_A = 0.3542 2.0000 5.6458 lamda_B =-1.8900 3.2835 6.6065 lamda_C =-5.2361-3.0000-0.7639 lamda_D =-0.0000 1.4689 9.5311 矩阵D的第一个特征值显示为“-0.0000”，继续查看为“-1.7351e-017”，那么它是等于零？还是小于零呢？ 现在，利用例4.2中求特征值的方法一，再次求解矩阵D的特征值，在MATLAB命令窗口输入： syms k D=[1,2,-1;2,5,-4;-1,-4,5];d=det(D-k*eye(3));% 计算行列式：|D-kI| lamda_D =solve(d)% 求特征方程|D-kI|=0的解

显示结果为： lamda_D = [ 0] [ 11/2+1/2*65^(1/2)] [ 11/2-1/2*65^(1/2)]

从以上符号解中可以看出：

矩阵D的确有一个特征值为零，则它是半正定的。

而计算机在执行Matlab函数eig的运算中，产生了舍入误差。

以下是用求特征值符号形式的方法来判断对称阵正定性的通用程序la11.m： % 判断对称阵的正定性 clear A=input('输入对称阵A:');if A'-A~=0 % 若矩阵不是对称阵，则退出 disp('输入错误');return;% 退出该程序 end n=length(A);% 取矩阵A的阶数 syms k % 定义k为符号变量 d=det(A-k*eye(n));% d为矩阵A的特征多项式

lamda=solve(d);% lamda为矩阵A的符号形式的特征根 lamda=eval(lamda);% 把符号形式变为数值形式 if lamda>0 % 判断特征值是否全部大于零 disp('矩阵A为正定矩阵');elseif lamda>=0 % 判断特征值是否全部大于等于零 disp('矩阵A为半正定矩阵');elseif lamda

输入对称阵A:[1,2,-1;2,5,-4;-1,-4,5] 矩阵A为半正定矩阵

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