届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第八节不等式的证明 理_高考数学复习讲义

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lg 3＋lg

52(3)利用基本不等式，如：lg 3·lg 5

2

n＋n＋

n＋

(4)利用常用结论：

1①＋1

＋1＋k211111111②2－2－程度大)； kkk－k－1kkkk＋kk＋1111111③2

2(程度小)． kk－1k－k＋2k－1k＋1

六、换元法

换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简．常用的换元有三角换元和代数换元．如：

已知x2＋y2＝a2，可设x＝acos θ，y＝asin θ；

已知x2＋y2≤1，可设x＝rcos θ，y＝rsin θ(0≤r≤1)；

x2y

22＋21，可设x＝acos θ，y＝bsin θ.ab

七、构造法

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式．

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

八、判别式法

含有两个字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，可考虑判别式法．

九、数学归纳法

可用于证明与正整数n有关的不等式．(见下一节)

基础自测

1．lg 9×lg 11与1的大小关系是()A．lg 9×lg 11＝1B．lg 9×lg 111D．lg 9×lg 11≥1

lg 9＋lg 112＝lg 992

解析：因为lg 9×lg 11

222

答案：B

2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则()A．a>bB．a

解析：因为(m＋1)(n＋4)－(mn＋2)＝(2m－n)≥0，所以a≥b.故选D.答案：D

x3x2

3．已知实数x，y满足1≤2≤3，则xy的取值范围是__________．

yy

x31y21

解析：由已知得1≤2≤

y3x2

两式相乘得≤xy≤2.31答案：2 3

2222

4．已知实数a，b，x，y满足a＋b＝1，x＋y＝3，则ax＋by的最大值为________．

解析：设a＝sin α，b＝

cos α，x＝3sin β，y＝3cos β，则ax＋by＝3sin αsin β＋3cos αcos β＝3(sin αsin β＋cos αcos β)3cos(α－β)≤3，故其最大值是3.答案：3

1．(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－a2b.33222222

证明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b)

＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2．(2012·重庆卷)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；

(2)若a2>－1，求证：Sn≤a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．

证明：(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a1a2＋a1，即a2＝a2a1.n

a2a1

又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1,两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1.an＋2

由a2≠0，知an＋1＝a2.an＋1

an＋1

＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列.an

n

(2)当n＝1或2时，显然Sn＝a1＋an)，等号成立.因a2≠0，故a1＝1＝a2.n－1

设n≥3，a2>－1且a2≠0.由(1)知，a1＝1，an＝a2，所以要证的不等式化为：1＋a2＋

nn－1－1

a2≤(1＋an)(n≥3)，2＋„＋a22

n

即证1＋a2＋a22＋„＋a2≤

n＋1

当a2＝1时，上面不等式的等号成立.＋an2)(n≥2)．

n－r

当－1

－r

当a2>1时，ar2－1与an－1(r＝1,2，3，„，n－1)同为正． 2

n－r

因此当a2>－1且a2≠1时，总有(ar－1)>0，2－1)·(a2

rn－rn

即a2＋a2

n－r

上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a2)

2nn＋1n

由此得1＋a2＋a2＋„＋a2

综上所述，当a2>－1且a2≠0时，有Sn≤a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号

成立.112

1．设0

2m1－2m

解析：由题可知k＋.m1－2m

12221－2m2m又＋[2m＋(1－2m)]＝4＋2≥8，m1－2m2m1－2m2m1－2m

当且仅当2m＝1－2m，即m＝.故k的最大值为8.答案：8

2．(2013·广州调研)若函数f(x)对任意的实数x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2

－x1|，则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”．

(1)判断g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

(2)若数列{xn}对所有的正整数n都有|xn＋1－xnyn＝sin xn，求证：

n＋2

|yn＋1－y1|

(1)解析：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，但h(x)＝x2－x不是区间R的“平缓函数”；设φ(x)＝x－sin x，则φ′(x)＝1－cos x≥0，则φ(x)＝x－sin x是实数集R上的增函数，不妨设x1

又y＝x＋sin x也是R上的增函数，则x1＋sin x1x1－x2，②

由①，②得－(x2－x1)

因此，|sin x2－sin x1|x2时，同理有|sin x2－sin x1|

不等式|sin x2－sin x1|＝|x2－x1|＝0，故对任意的实数x1，x2∈R，均有|sin x2－sin x1|≤|x2－x1|.因此g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”． 由于|h(x1)－h(x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|

取x1＝3，x2＝2，则|h(x1)－h(x2)|＝4>|x1－x2|，n

因此，h(x)＝x2－x不是区间R上的“平缓函数”．

(2)证明：由(1)得：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，则|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，所以|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.而|xn＋1－xn|≤，n＋2

11111

所以|yn＋1－yn|≤－.2

n＋4n＋4n4nn＋1

因为|yn＋1－y1|＝|(yn＋1－yn)＋(yn－yn－1)＋(yn－1－yn－2)＋„＋(y2－y1)|，所以|yn＋1－y1|≤|yn＋1－yn|＋|yn－yn－1|＋„＋|y2－y1|.所以|yn＋1－y1|≤ 111111－＋－＋„＋1－ 4nn＋1n－1n2111＝1－

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