数学归纳法证明不等式导学案一_不等式证明学案

2020-02-27 证明下载本文

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选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式姓名☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.☻

重点：应用数学归纳法证明不等式.知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

.验证n取时命题(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论）

要诀: 递推基础, 归纳假设, 结论写明.☆ 数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.例2已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.例4证明:1

1221321n221n

(nN,n≥2).第 1 页；

例5.当n≥2时,求证

:1





5、用数学归纳法证明

1

111111112342n12nn1n22n

2n6、.用数学归纳法证明41+3n+2能被13整除，其中n∈N

选修4-5练习§4.1.1值为()A.30

数学归纳法证明不等式（1）姓名

1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的B.26

C.36

D.62、.观察下列式子：1

3,2

21

115,22323

1

1117 223242

4…则可归纳出_____.7、求证：

3an13、已知a1, an1,则a2,a3,a4,a5的值分别为，由此猜想

an

32an_________.111

5(n2,nN)n1n23n64、用数学归纳法证明: An5n23n11(nN*)能被8整除.1118、已知，Sn1,nN，用数学归纳法证明：

23n

第 2 页

S1n

2(n2,nN

2n)

9、.求证：用数学归纳法证明

2n2n2(nN*)．

答案:

1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1 ⑴当n1时,上式左边sin

右边,不等式成立.⑵设当nk(k≥1)时,不等式成立,即有sink≤ksin.那么,当nk1时,sin(k1)=

例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x

2∵ x0，∴ 1+2x+x2

>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k

>1+kx当n=k+1时，因为x> 1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+

1右边=1+(k+1)x．

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1

>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例3 证明:⑴当n1时,有a11，命题成立.⑵设当nk(k≥1)时，命题成立，即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2ak1,那么它们的和a1a2ak≥k.那么当nk1时,已知k1个正数a1,a2,,ak,ak1满足a1a2akak11.若k1个正数a1,a2,,ak,ak1都相等,则它们都是1.其和为k1,命题成立.若这k1个正数a1,a2,,ak,ak1不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与a1a2akak11矛盾).不妨设a11,a21.第 3 页

例4证:(1)当n=1时,左边=1

12254 ,右边=21322 ,由于

5342

故不等式成立.(2)假设n=k(kN,k≥2)时命题成立,即11111

2232k22k

.则当n=k+1时, 1

12211111

32k2(k1)22k(k1)

21k1(k1)221k1k(k1)21k(111

kk1)2k1

.即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切nN,n≥2都成立.例5（1）当n2时，左式1

11

17.2右式当n2时，不等式成立（2）假设当nk（2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1









右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

练习

1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－

2(k≥2)

f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

1

12、解析：

2232即11(11)

2

21

111 1

11511222323,即1(11)2(21)2



21

21 归纳为1

1221321(n1)2



2n1

n1(n∈N*)答案:1

1221321(n1)2



2n1

n1(n∈N*)3

3.解析:a3a12a3

33同理,137252

a3a233333333a5,a4945,a51055,猜想an

2383n

5答案:337、8、39、310

3n

54、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即Akk523k11是8的倍数.那么: A

1k1

5k23k15(5k23k11)4(3k11)5Ak4(3k11)

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.111

15．证明： 1当n=1时，左边=1-2=2，右边=11=2，所以等式成立。

2假设当n=k时，等式成立，1

1111即

2342k112k1k11k212k。

第 4 页

那么，当n=k+1时，111112342k112k112k12k2 11111k1k

22k2k1

2k2 1111111111234k2k32k2k1(k12k2)



k21k312k12k11

2(k1)

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.111．1

7证明：（1）当n=2时，右边=34566，不等式成立．

111

5（2）假设当nk(k2,kN*)时命题成立，即k1k2

3k6．则当nk1时，1(k1)11(k1)21111

3k3k13k2

3(k1)1k11k2111113k(3k13k23k3k1)516(3k113k213k31k1)511116(3k33k33k3k1)56(313k31k1)56.所以则当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切n2,nN*

均成立．

8.证明：

S1

1213141131212

（1）当n=2时，222，∴命题成立．