届高考数学总复习第七章 推理与证明第3课时 数学归纳法课时训练_数学归纳法专题训练

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1117.设f(n)＝＋„＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________． 2nn＋1n＋

211答案： 2n＋12n＋2

解析：f(n＋1)－f(n)

11111＝（n＋1）＋1＋（n＋1）＋2＋„＋2n＋2n＋1＋2（n＋1） 

111－n＋1＋n＋2＋„＋2n 

11111＝－.2n＋12（n＋1）n＋12n＋12n＋2

－8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋„＋n×3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．

11答案：a＝，b＝c＝2

4解析：∵ 等式对一切n∈N*均成立，∴ n＝1，2，3时等式成立，1＝3（a－b）＋c，2即1＋2×3＝3（2a－b）＋c，1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，3a－3b＋c＝1，11整理得18a－9b＋c＝7，解得ab＝c 2481a－27b＋c＝34，9.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋

*a(n∈N*)．用数学归纳法证明：an

a3证明：当n＝1时，a2＝1＋，a1

2ak＋1ak＋1时，ak0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1－1＋ak＋11＋ak＋

1ak＋1－ak1＋a＝1＋ak（1＋ak）（1＋ak＋1）>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式

an

＋－10.求证：an1＋(a＋1)2n1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)．

证明：① 当n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝1时原命题成立．

＋－＋② 假设n＝k(k∈N*)时，ak1＋(a＋1)2k1能被a2＋a＋1整除．则当n＝k＋1时，ak2

＋＋－＋－－＋(a＋1)2k1＝a·ak1＋(a＋1)2·(a＋1)2k1＝a·ak1＋a·(a＋1)2k1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k1＝

[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可a·

＋＋知，ak2＋(a＋1)2k1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命题也成立．

根据①和②可知，对于任意的n∈N*，原命题成立．

11.设数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．

3解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，2

n2－1715得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝－.482

下面用数学归纳法证明猜想正确：

2n－121－1① 当n＝1时，左边a1＝1，右边＝－－1，猜想成立． 22

k2－12k－1② 假设当n＝k时，猜想成立，就是ak－Sk＝2k－ak＝2k－－.则当n＝22

1k＋1时，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＋1)－Sk]2

kk＋12－12－11＝k＋12k－－＝（＋）－ 222

这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．

2n－1由①②可知，an＝－n∈N*均成立． 2

12.已知△ABC的三边长为有理数，求证：

(1)cos A是有理数；

(2)对任意正整数n，cosnA是有理数．

AB2＋AC2－BC2

证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝ 2AB·AC

(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．

① 当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数． ② 假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．

当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．

即当n＝k＋1时，结论成立．

综合①②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．

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