【创新设计】届高考数学第一轮复习 43 平面向量的数量积题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版_平面向量的数量积习题

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第3讲 平面向量的数量积

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝

A．

2C．4B．(0,4)D．(1,4)()．

解析 a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.答案 C

→→

2．(2014·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则AC在AB方向上的投影为

1A.4C．112D．2

→→→1解析 如图所示，AC在AB方向上的投影为|AC|cos 60°＝2

1.2()．

答案 C

3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a＝3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)．若a＋2b与c

垂直，则k＝

A．－

3C．－1B．－2D．1()．

解析 由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.答案 A

4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()．

12πA.3πC.3

πB.65π6

解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.1∴2|b|2·cos＋|b|2＝0，∴cos＝－，22π

又∈[0，π]，∴＝3答案 A

→→

5．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为

A.5B．25C．5D．10 →→

解析 ∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，→→∴AC⊥BD，→→|AC|·|BD|20

∴S四边形＝5.22答案 C

二、填空题

6．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析 b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2 ＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2 tt

＝1－t＝1－2

2t由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.2答案 2

→→→→

7．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(3，－1)，OB＝(0,2)．若OC·AB＝→→

0，AC＝λOB，则实数λ的值为________．

→→→→→→

解析 设C(x，y)，则OC＝(x，y)，又AB＝OB－OA＝(0,2)－(3，－1)＝(－3,3)，所以OC·AB→x－3＝0，＝－3x＋3y＝0，解得x＝y.又AC＝(x－3，y＋1)＝λ(0,2)，得结合x＝y，解

y＋1＝2λ，

()．

得λ＝2.答案 2

→→

8.(2014·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，＝60°，→

则|OA|＝________.→→→→→→→11

3解析 因为＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO＝

22211322→→，所以AO2＝1(AB＋AC)2＝1AB2＋2AB·AC＋AC)，即AO＝(1＋3＋9)＝，AB＋AC4444→13所以|OA|＝2答案

三、解答题

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．

(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝－2＋0＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝综上，可知|a－b|＝2或25.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；

3→

→

→

→

→→

→

→

→→

(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积． 解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，－6a·b1∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝.|a||b|4×322π

又0≤θ≤π，∴θ3

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.→→2π2ππ(3)∵AB与BC的夹角θ＝ABC＝π－333→→

又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，1→→13

∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC4×3×＝3.22

2能力提升题组(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·青岛一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为 π

A.62πC.3πB.35π6

()．

解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为 a＋b·a|a|21πcos θ＝＝所以θ＝3|a＋b||a|2|a||a|2答案 B

→→→→2

22．(2014·昆明调研)在△ABC中，设AC－AB＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()． A．垂心

B．内心

C．外心D．重心

→→→→→→→→→→22

解析 假设BC的中点是O.则AC－AB＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即→→→→→→→(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案 C

二、填空题

π3．(2013·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，6|x|

则________． |b|

π3x22222

2解析 因为e1·e2＝cos ＝，所以b＝x＋y＋2xye1·e2＝x＋y＋3xy.所以＝

62bx2

＝

x2＋y23xy

y11

3，设t＝，则1＋t2＋3t＝t＋2＋≥，所以0＜

x244y23y

1＋xx

1x2|x|

4的最大值为4，所以的最大值为2.2b|b|1＋t3t答案 2

三、解答题

4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解 由已知得e2e2＝2×1×cos 60°＝1.1＝4，e2＝1，e1·22∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te2e2＋7te21＋(2t＋7)e1·2＝2t＋15t＋7.1欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t.2设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，2t＝λ，∴∴2t2＝7.7＝tλ，

∴t＝－即t＝－

λ＝－14.2

2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.2

∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是

－7，－14∪－141.222

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