【创新设计】届高三数学一轮复习 不等式的证明随堂训练 理 苏教版选修452_创新思维训练设计

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第2课时不等式的证明

简答题

1．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a，b是不相等的正实数．

求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.3证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，3即a＝b＝1时，等号成立；同理ab2＋a2＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，22222等号成立．所以(ab＋a＋b)(ab＋a＋b)≥9ab，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.1492．(南京调研)已知a，b为正数，求证：a＋b.a＋b

1＋4＝5＋b＋4a≥5＋2 证明：因为a>0，b>0，所以(a＋babab

149所以a＋ba＋b

3．已知a，b是正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.证明：∵a＋b≥2ab＞0，a2＋b2≥2ab＞0，① ② ③ b4a×＝9.aba3＋b3≥2ab＞0，∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥ab·abab＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求证：|ax＋by|≤4.证明：要证|ax＋by|≤4，只要证(ax＋by)2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要证2abxy≤b2x2＋a2y2，即证(bx－ay)2≥0.显然此式成立．故原不等式成立．

5．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：ab＋bc＋ca＜a＋b＋c.证明：a＋b＞ab，b＋c＞2bc，a＋c＞2ac，① ② ③

∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞ab＋bc＋2ac，即ab＋bcac＜a＋b＋c.用心爱心专心

6.已知α∈(0，π]，求证：2sin 2α≤

证明：证法一：(作差比较法)sin α 1－cos α

sin α4cos α－4cos2α－1sin αsin α2sin 2α－＝4sin αcos α－＝ 1－cos α1－cos α1－cos α

－sin α2cos α－1

2＝1－cos α

∵α∈(0，π)，∴sin α>0,1－cos α>0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin αsin α0.∴2sin 2α≤.1－cos α1－cos α

证法二：(分析法)

要证明2sin 2 α≤sin αsin α成立，只要证明4sin αcos α≤1－cos α1－cos α

1∵α∈(0，π)，∴sin α>0.只要证明4cos α≤.1－cos α

上式可变形为4≤

∵1－cos α>0，∴1＋4(1－cos α)． 1－cos α141－cos α＝4，1－cos α1＋4(1－cos α)≥2 1－cos α

1π1当且仅当cos α＝α＝时取等号．∴4≤＋4(1－cos α)成立． 231－cos α

∴不等式2sin 2α≤

证法三：(综合法)

∵11π＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝即α＝时取等号)231－cos αsin α成立． 1－cos α

sin αsin α∴4cos α≤.∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤∴2sin 2α.1－cos α1－cos α

1－cos α

11．已知a>0，b>0，求证：(a＋b)2＋a＋b)≥2abab)． 2

1证明：要证明(a＋b)2(a＋b)≥2(ab)，只需证明 2

1a＋b＋≥ab(a＋b)．(a＋b)2

1∵a>0，b>0，∴a＋b≥ab>0.只需证明a＋b＋≥a＋b，21111a＋＋b＋≥＋b.只需证明a＋a>0，b＋b>0.只需证明444

41显然上式成立．∴(a＋b)2＋a＋b)≥2ab(a＋b)成立． 2

2．已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：cab＋a＋bb＋cc＋a

11.2a＋ba＋b＋c证明：∵a、b、c为三角形的三边长，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴

c2ca2ab2b两边同乘以2c，∴.同理

∴

cab2c2a2b＋

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