高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题06 平面向量_高考数学理全国卷

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【母题来源一】【2018高考新课标1理数6】 【母题原题】在△A.B.C.D.【答案】A 中，为

边上的中线，为的中点，则，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源二】【2017高考新课标1理数13】

【母题原题】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ______.【答案】【解析】

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．

【母题来源三】【2016高考新课标1理数13】

【母题原题】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|=|a|+|b|，则m=.【答案】2 【解析】

试题分析：由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，解得m2.【考点】向量的数量积及坐标运算

【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若ax1,y1,bx2,y2,则abx1y1x2y2.2

2【考点一：平面向量基本定理】

1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．

2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底 表示出来．

3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 【考点二：平面向量的坐标运算】

1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa，应视题目条件灵活选择．

1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考

（六）】若在则（）

中，其外接圆圆心满足，A.B.C.D.【答案】A

点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。2．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆两条切线，切点分别是A，B，则A.[-，＋∞）B.[-，] C.[2【答案】C 【解析】分析：利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形，设三角形求出的长；利用向量的数量积公式表示出的夹角为2α，通过解直角的取值范围为 －3，] D.[

2－3，＋∞）的，再根据三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元并结合基本不等式可求出最值． 详解：如图，则． 的夹角为2α，故选C．

点睛：解答解析几何中的最值问题时，可选取适当的变量，将目标函数表示为该变量的函数，然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法，常用的方法有单调性法和基本不等式法． 3．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】在，且A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据结果.详解：由因为，得，所以，，又得，利用

以及向量的数量积建立关于的等量关系式，从而求得，则的值为（）

中，，若，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的问题，在解题的过程中，还可以有另一种解法，建立相应的坐标系，将向量坐标化，利用向量数量积的坐标公式求得结果.4．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟】非零向量则与夹角的大小为（）

满足;,A.135° B.120° C.60° D.45° 【答案】A

点睛：该题考查的是有关向量所成角的余弦值，方法就是应用公式求解：向量的数量积比上模的乘积即为结果，在求解的过程中，需要去判断式子中所涉及到的量的关系，应用题中的条件，求得两个向量的模之间的关系，从而最后求得结果.5．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷

（二）】在中点，将向量A.绕点按逆时针方向旋转

得向量，则向量

中，在向量，为

方向上的投影为（）的 B.C.D.【答案】C 【解析】如图，以则，且，为轴建立平面直角坐标系，所以向量在向量方向上的投影为.本题选择C选项.6．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，向上的正射影的数量为（）A.B.【答案】D C.D.，则向量在方

点睛: 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量投影的定义是解决本题的关键，属于基础题.7．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】设平面向量下列说法正确的是（）A.C.是的充分不必要条件 B.与的夹角为

与的夹角为，，则 D.【答案】D 中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】平行四边形则()

中，是的中点，若，A.B.2 C.D.【答案】D 【解析】分析：首先将图画出来，再分别将详解：因为所以，即，因此，解得，所以，故选D.，用

表示出来，建立等量关系，求解的值.点睛：该题主要考查平面向量基本定理，涉及到的知识点有平行四边形的对角线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示等问题，需要注意在解题推导过程中运算的准确性.9．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】向量，对，则（）A.B.C.D.【答案】C

因为因为对所以对所以因为所以，所以。，所以，所以，恒成立。，即。

。所以。

故选C。

点睛：本题考查平面向量数量积公式及一元二次方程根与系数的关系。对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法由两种：一是对于未知量不做限制的题型，可以选择直接运用判别式解答；二是未知量在区间答。

10．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】在直角坐标系中,已知三点,为坐标原点,若向上的题型，一般采取不等式组（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的正负）的方法解量与在向量方向上的投影相等,且,则=()

A.6 B.-6 C.-5 D.5 【答案】D

点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往 的模用坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）（平方后需求）.11．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】已知向量与的夹角为30°，且则_________．

＝1，【答案】

点睛：本题考查向量数量积的运算和向量模的求法，解题的关键是根据数量积的运算律得到关于然后通过解方程可得所求．

12．【四川省成都市第七中学2018-2019高中毕业班零诊模拟考试】如图，在平面四边形，.若点为边

上的动点，则

中，的方程，的最小值为__________．

【答案】 【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接已知，，又，点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往用 的模（平坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.13．【河南省南阳市第一中学2018届高三第二十次考试】已知为锐角若__________． 【答案】，且，记的外心，则，的大小关系为【解析】分析：首先根据题中的条件，利用向量的平方，结合三角形外心所满足的条件，得到其对应的结果，利用向量的数量积的定义式，得到对应的式子，求得三角形外接圆的半径，结合正弦定理得到对应的结果.详解：若由于O为锐角，同样地，所以，所以所以有，从而得到，根据正弦定理，可得，从而得到，则的外心，所以D,E为边的中点，分别是两边的中垂线，进一步求得的单调性得到结果，从而可以求得.，从而可求得，之后借助于余弦函数点睛：该题考查的是有关向量的数量积的大小关系的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，正弦定理，余弦函数的单调性，正确应用结论，求得结果.14．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】平面向量与的夹角为则【答案】__________．.，，点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时

向量垂直则

;(4)求向量

往往用 的模（平坐标形式求解）；（2）求投影，在 上的投影是；（3）方后需求）.15．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】如图，已知同侧作半圆，__________． 分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且

为中点，以，则

为直径在的最大值为

【答案】

【解析】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．

详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得

故答案为．

点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．

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