高中数学必修系列：11.1随机事件的概率_必修三随机事件的概率

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【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：11.1随机事件的概率

(备课资料)

一、参考例题

［例1］先后抛掷3枚均匀的一分，二分，五分硬币.(1)一共可能出现多少种不同的结果？

(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？(3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？

分析：(1)由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有2×2×2=8种.(2)出现“2枚正面，1枚反面”的情况可从(1)中8种情况列出.(3)因为每枚硬币是均匀的，所以(1)中的每种结果的出现都是等可能性的.解：(1)∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况, ∴共可能出现的结果有2×2×2=8种.故一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)∵每种结果出现的可能性都相等，∴事件A“2枚正面，1枚反面”的概率为P(A)=

3.8［例2］甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率.分析：这里从甲、乙、丙、丁中选3名代表就是从4个不同元素中选3个元素的一个组合，也就是一个基本事件.解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁选为代表.∵每种选为代表的结果都是等可能性的，甲被选上的事件个数m=3, ∴甲被选上的概率为

3.4［例3］袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.(1)共有多少种不同结果？

(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？(4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.分析：(1)设从4个白球，5个黑球中，任取3个的所有结果组成的集合为I，所求结果种数n就是I中元素的个数.(2)设事件A：取出的3球,2个是白球，1个是黑球，所以事件A中的结果组成的集合是I的子集.(3)设事件B：取出的3球至少有2个白球，所以B的结果有两类：一类是2个白球，1个黑球；另一类是3个球全白.(4)由于球的大小相同，故任意3个球被取到的可能性都相等.故由P(A)=

card(A),P(B)=

card(I)card(B)，可求事件A、B发生的概率.card(I)解：(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I, ∴card(I)=C39=84.∴共有84个不同结果.(2)设事件A：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A, ∴card(A)=C4·C15=30.∴共有30种不同的结果.(3)设事件B：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B, ∴card(B)=C4+C4·C15=34.∴共有34种不同的结果.(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同, ∴事件A发生的概率为3223053417,事件B发生的概率为.841484

42二、参考练习

1.选择题

(1)如果一次试验中所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率

A.都是1

B.都是 C.都是

D.不一定 答案：B(2)抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的数都是3的概率是31C.2A.B.1 D.1 6答案：D(3)把十张卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率是105C.10A.答案：D 107

D.B.(4)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为33C.5A.22 D.B.答案：D(5)甲袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从2个袋内各摸出一个球，那么

5等于 12A.2个球都是白球的概率

B.2个球中恰好有一个是白球的概率 C.2个球都不是白球的概率 D.2个球都是白球的概率 答案：B(6)某小组有成员3人，每人在一个星期(7天)中参加一天劳动，如果劳动日可任意安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为

3730C.49A.351 D.70 B.答案：C 2.填空题

(1)随机事件A的概率P(A)应满足________.答案：0≤P(A)≤1(2)一个口袋内装有大小相同标号不同的2个白球，2个黑球，从中任取一个球，共有________种等可能的结果.答案：4(3)在50瓶饮料中，有3瓶已经过期，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率是________.答案：3 50(4)一年以365天计，甲、乙、丙三人中恰有两人在同天过生日的概率是________.2C33641092解析：P(A)=.22365365答案：1092 2365(5)有6间客房准备安排3名旅游者居住，每人可以住进任一房间，且住进各房间的可能性相等，则事件A：“指定的3个房间各住1人”的概率P(A)=________；事件B：“6间房中恰有3间各住1人”的概率P(B)=________；事件C：“6间房中指定的一间住2人”的概率P(C)=________.A31解析：P(A)=33；

6363C356A3P(B)=； 6392C355P(C)=.3672答案：155

369723.有50张卡片(从1号到50号)，从中任取一张，计算：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有多少种？(2)所取卡片的号数是偶数的概率是多少？ 解：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有25种.(2)所取卡片的号数是偶数的概率为P=

251=.502●备课资料

一、参考例题

［例1］一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在此楼的同一单元的概率.分析：因为李明住在此楼的情况有6种，王强住在此楼的情况有6种，所以他们住在此楼的住法结果有6×6=36个，且每种结果的出现的可能性相等.而事件A：“李明和王强住在同一单元”含有6个结果.解：∵李明住在这栋楼的情况有6种，王强住在这栋楼的情况有6种, ∴他们同住在这栋楼的情况共有6×6=36种.由于每种情况的出现的可能性都相等, 设事件A：“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A所含的结果有6种, ∴P(A)=61.3661.6∴李明和王强住在此楼的同一单元的概率为评述：也可用“捆绑法”，将李明和王强视为1人，则住在此楼的情况有6种.［例2］在一次口试中，要从10道题中随机选出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格.某考生会回答10道题中的8道，那么这名考生获得及格的概率是多少？

3分析：因为从10道题中随机选出3道题，共有C10种可能的结果，而每种结果出现的可能性都相等，故本题属于求等可能性事件的概率问题.解：∵从10题中随机选出3题，共有等可能性的结果C10个.设事件A：“这名考生获得及格”，则事件A含的结果有两类，一类是选出的3道正是他能回答的3题，共有C8种选法;另一类是选出的3题中有2题会答，一题不会回答，共有11232·C2种选法，所以事件A包含的结果有C8+C8·C2个.C8321C8C8C214∴P(A)=.3C101533∴这名考生获得及格的概率为

14.15［例3］7名同学站成一排，计算：(1)甲不站正中间的概率；

(2)甲、乙两人正好相邻的概率；(3)甲、乙两人不相邻的概率.分析：因为7人站成一排，共有A77种不同的站法，这些结果出现的可能性都相等.解：∵7人站成一排，共有A77种等可能性的结果, 设事件A：“甲不站在正中间”； 事件B：“甲、乙两人正好相邻”； 事件C：“甲、乙两人正好不相邻”； 事件A包含的结果有6A66个； 事件B包含的结果有A66A2个;

2事件C包含的结果有A55·A6个.26A66(1)甲不站在正中间的概率P(A)=76.A772A626A6(2)甲、乙两人相邻的概率P(B)=.7A772A555A6(3)甲、乙两人不相邻的概率P(C)=.A777［例4］从1，2，3，„，9这九个数字中不重复地随机取3个组成三位数，求此数大于456的概率.分析：因为从1，2，3，„，9这九个数字中组成无重复数字的三位数共有A39=504个，且每个结果的出现的可能性都相等，故本题属求等可能性事件的概率问题.由于比456大的2三位数有三类：(1)百位数大于4，有A15·A8=280个;(2)百位数为4，十位数大于5，有1·A1A47=28个;(3)百位数为4，十位数为5，个位数大于6有2个,因此，事件“无重复数字且比456大的三位数”包含的结果有280+28+3=311个.解：∵由数字1，2，3，„，9九个数字组成无重复数字的三位数共有A39=504个，而每种结果的出现的可能性都相等.其中，事件A：“比456大的三位数”包含的结果有311个, ∴事件A的概率P(A)=

311.504∴所求的概率为311.5041，求该班男生、女生的人数.2［例5］某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等，若选出的2人性别相同的概率是分析：由于每人当选的可能性都相等，且从全班36人中选出2人去完成一项任务的选2法有C36种，故这些当选的所有结果出现的可能性都相等.解：设该班男生有n人，则女生(36-n)人.(n∈N*,n≤36)

2∵从全班的36人中，选出2人，共有C36种不同的结果，每个结果出现的可能性都相2等.其中，事件A：“选出的2人性别相同”含有的结果有(C2n+C36n)个, 2C21nC36n∴P(A)=.2C362∴n2-36n+315=0.∴n=15或n=21.∴该班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.评述：深刻理解等可能性事件概率的定义，能够正确运用排列、组合的知识对等可能性事件进行分析、计算.二、参考练习 1.选择题

(1)十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为158C.15A.457 D.B.答案：D(2)将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是23C.4A.41 D.B.答案：A(3)从数字0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率等于2516C.25A.2524 D.B.答案：B(4)盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个不合格铁钉的概率为 A.0.9

B.1 9C.0.1

C10090D.10 C100答案：D(5)将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是23C.4A.B.4 D.1 答案：C 2.填空题

(1)从甲地到乙地有A1，A2，A3，A4共4条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3共3条路线，其中A1B1是甲地到丙地的最短路线，某人任选了一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为________.答案：1 12(2)袋内装有大小相同的4个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个白球的概率为________.答案：12 35(3)有数学、物理、化学、语文、外语五本课本，从中任取一本，取到的课本是理科课本的概率为________.答案：3 5(4)从1，2，3，„，10这10个数中任意取出4个数作为一组，那么这一组数的和为奇数的概率是________.答案：10 21(5)一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚好十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为________.解:由题意，知婴儿受到夸奖的概率为P=

21.A61806A22(6)在2004年8月18日雅典奥运会上,两名中国运动员和4名外国运动员进入双多向飞蝶射击决赛.若每名运动员夺得奖牌(金、银、铜牌)的概率相等,则中国队在此项比赛中夺得奖牌的概率为________.C3A314解:由题意可知中国队在此项比赛中不获得奖牌的概率为P1=3(或4.)6C6A65则中国队获得奖牌的概率为P=1-P1=1-

14.553.解答题

(1)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中任取2枝，求： ①恰好都取到正品的概率；

②取到1枝正品1枝次品的概率； ③取到2枝都是次品的概率.2C828解：①2.C10451C1168C2②.2C1045C212③2.C1045(2)某球队有10人，分别穿着从1号到10号的球衣，从中任选3人记录球衣的号码，求：

①最小的号码为5的概率； ②最大的号码为5的概率.2C51解：①3.C1012C214②3.C1020(3)一车间某工段有男工9人，女工5人，现要从中选3个职工代表，求3个代表中至少有一名女工的概率.2213C1CCCC109595解：5.3C1413(4)从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两数相乘而得到积，求：

①积为零的概率； ②积为负数的概率； ③积为正数的概率.C12解：①6； 2C771C133C3②； 2C7722C3C32③.2C77(5)甲袋内有m个白球，n个黑球；乙袋内有n个白球，m个黑球，从两个袋子内各取一球.求：

①取出的两个球都是黑球的概率； ②取出的两个球黑白各一个的概率； ③取出的两个球至少一个黑球的概率.解：①nm;2(nm)m2n2②;2(mn)m2n2mn③.2(mn)●备课资料

一、参考例题

［例1］一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6.求：(1)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和是6的概率.(2)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和小于5的概率.分析：以(x1,x2)表示先后抛掷两次玩具朝上的面的数，x1是第一次朝上的面的数，x2是第二次朝上的面的数，由于x1取值有6种情况，x2取值也有6种情况，因此先后两次抛掷玩具所得的朝上面数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现都是等可能性的.解：设(x1,x2)表示先后两次抛掷玩具后所得的朝上的面的数，其中x1是第一次抛掷玩具所得的朝上的面的数，x2是第二次抛掷玩具所得的朝上的面的数.∵先后两次抛掷这个玩具所得的朝上的面的数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现的可能性都相等.(1)设事件A为“2次朝上的面的数之和为6”，∵事件A含有如下结果：

(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，∴P(A)=5.36(2)设事件B为“2次朝上的面上的数之和小于5”，∵事件B含有如下结果：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个，∴P(B)=61.366［例2］袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的，5枚是壹分的.现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率.分析：由于从10枚硬币中，任取5枚所得的钱数结果出现的可能性都相等.记事件A：“取出的5枚对应的钱数不超过壹角”，∴事件A含有结果有：

①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共C2·C3·C5种取法.②1枚伍分，4枚壹分，共C2·C5种取法.111342③3枚贰分，2枚壹分，共C33·C5种取法.23④2枚贰分，3枚壹分，共C3·C5种取法.4⑤1枚贰分，4枚壹分，共C13·C5种取法.⑥5枚壹分共C55种取法.***1261C1CCCCCCCCCCC35253535355.∴P(A)=2=52522C10［例3］把10个足球队平均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在：(1)不同组的概率；(2)同一组的概率.分析：由于把10支球队平均分成两组，共有结果的可能性都相等.(1)记事件A：“最强两队被分在不同组”，这时事件A含有

15C10种不同的分法，而每种分法出现的2142C8A2种结果.214C8A2252∴P(A)=.159C10235(2)记事件B：“最强的两队被分在同一组”，这时事件B含有C8C2C25种.3C84.∴P(B)=15C1092［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐标系中，点(x,y)的坐标x∈A, y∈A,且x≠y,计算：

(1)点(x,y)不在x轴上的概率；(2)点(x,y)正好在第二象限的概率.2分析：由于点(x,y)中，x、y∈A,且x≠y,所以这样的点共有A10个，且每一个结果出现的可能性都相等.解：∵x∈A,y∈A,x≠y时，点(x,y)共有A10个，且每一个结果出现的可能性都相等，(1)设事件A为“点(x,y)不在x轴上”，1∴事件A含有的结果有A19·A9个.2∴P(A)=999.10910(2)设事件B为“点(x,y)正好在第二象限”，∴x＜0,y＞0.1∴事件B含有A15·A4个结果.1A125A4∴P(B)=.2A109［例5］从一副扑克牌(共52张)里，任意取4张，求：

(1)抽出的是J、Q、K、A的概率；(2)抽出的是4张同花牌的概率.4解：∵从一副扑克牌(52张)里，任意抽取4张，共有C52种抽法.每一种抽法抽出的结果出现的可能性都相等,(1)设事件A：“抽出的4张是J，Q，K，A”, ∵抽取的是J的情况有C14种, 抽取的是Q的情况有C14种, 抽取的是K的情况有C14种, 抽取的是A的情况有C14种, ∴事件A含有的结果共有44个.76842∴P(A)=4=.C52812175(2)设事件B：“抽出的4张是同花牌”,4∴事件B中含C4·C13个结果.4C110544C13∴P(B)=.4C52416

51二、参考练习

1.选择题

(1)某一部四册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1，2，3，4册的概率等于81C.12A.161 D.B.答案：C(2)在100件产品中，合格品有96件，次品有4件，从这100件产品中任意抽取3件，则抽取的产品中至少有两件次品的概率为

1C2CA.4396

C100

3C2C B.434

C10013C24C96C4C.3C100

C3 D.34

C100答案：C(3)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选3台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是54C.5A.109 D.B.答案：D(4)正三角形各顶点和各边中点共有6个点，从这6个点中任意取出3个点构成的三角形恰为正三角形的概率是44C.17A.55 D.B.答案：D(5)在由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意抽取一个，正好抽出两位自然数的概率是132C.15A.32 D.B.答案：A 2.填空题

(1)设三位数a、b、c,若b＜a,c＞a,则称此三位数为凹数.现从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字，组成三位数，其中是凹数的概率是________.答案：2 5(2)将一枚硬币连续抛掷5次，则有3次出现正面的概率是________.3C5答案：5

2(3)正六边形的各顶点和中心共有7个点，从这7个点中任意取3个点构成三角形，则构成的三角形恰为直角三角形的概率是________.解：P=62123.C3332873 8答案：(4)商品A、B、C、D、E在货架上排成一列，A、B要排在一起，C、D不能排在一起的概率是________.222261A22A2A3解：P===.5543215A5答案：1 5(5)在平面直角坐标系中，点(x,y)的x、y∈{0,1,2,3,4,5}且x≠y,则点(x,y)在直线y=x的上方的概率是________.111151C15C4C3C21解：P===.2652A6答案：1 23.解答题

(1)已知集合A={a,b,c,d,e},任意取集合A的一个子集B，计算： ①B中仅有3个元素的概率;②B中一定含有a、b、c的概率.3C55解：①P=5.216C1111.②P=2528(2)某号码锁有六个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数号码(开锁号码)时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开一次就能打开锁的概率是多少？如果未记准开锁号码的最后两位数字，在使用时随意拨下最后两位数字，正好把锁打开的概率是多少？

1.61011②P=2.10100解：①P=(3)9国乒乓球队内有3国是亚洲国家，抽签分成三组进行预赛(每组3队)，试求： ①三个组中各有一个亚洲国家球队的概率； ②三个亚洲国家集中在某一组的概率.解：①P=［CCC262422］÷［

339C39C6C3］=.328A333131C339C6C3②P=C6·C3÷［］=.3228A3(4)将m个编号的球放入n个编号的盒子中，每个盒子所放的球数k满足0≤k≤m,在各种放法的可能性相等的条件，求：

①第一个盒子无球的概率； ②第一个盒子恰有一球的概率.n1m).nmn1n-1②P=·().nn解：①P=(

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