高等数学习题71_高等数学习题七

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习题7-

11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）(x,y)x0,y0；

（2）(x,y)1x2y24；

（3）(x,y)yx2；

（4）(x,y)x2(y1)21且x2(y1)24.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(x,y)x0或y0}.（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为

{(x,y)xy1}{(x,y)xy4}.222

2（3）集合是开集，区域，无界集；边界为{(x,y)

（4）集合是闭集，有界集；边界为

{(x,y)x(y1)1}{(x,y)22yx}.2x(y1)4} 22

2.已知函数f(u,v)uv，试求f(xy,xy).解f(xy,xy)xy

3.设f(x,y)(xy).2xy，证明：

f(tx,ty)tf(x,y).2

解

f(tx,ty)2

2txyt22txyt222xy tf(x,y).y4.设f

xx(x0)，求f(x).y解

由于f



xx1，则fx.5.求下列各函数的定义域：

（1）zxy

xy2222；（2）zln(yx)arcsinyx；

（3）zln(xy)；（4）z；

（5）z（6）uarccos

.解（1）定义域为(x,y)yx；

（2）定义域为(x,y)xyx；

（3）定义域为(x,y)xy0，即第一、三象限（不含坐标轴）； 

（4）定义域为(x,y)



xa

2

1； 2by

（5）定义域为(x,y)x0,y0,x2y；

（6）定义域为(x,y,z)x2y2z20,x2y20.6.求下列各极限：（1）

lim

xxyy

xy

；（2）1xy

(x,y)(2,0)(x,y)(0,0)

lim

ln(xy1)sin(xy)y；

（3）

(x,y)(0,0)

lim(xy)sin

；（4）

(x,y)(2,0)

lim；

（5）

(x,y)(0,1)

lim(1xy)x；（6）

(x,y)(,)

lim(xy)e

22xy

.解：（1）

(x,y)(2,0)

lim

xxyy

xy

f(2,0)

2；

（2）

(x,y)(0,0)

lim

u

1limlim； u0u0ln(xy1)ln(1u)u2

1cos（3）因为

(x,y)(0,0)

limin(xy)0，且s

1xy

1有界，故

(x,y)(0,0)

lim(xy)sin

1xy

0；

（4）

(x,y)(2,0)

lim

sin(xy)y



(x,y)(2,0)

limx

sin(xy)xy

212；

（5）

(x,y)(0,1)

lim(1xy)

x

(x,y)(0,1)

lim(1xy)

xy

y

ee；

（6）当xN0，yN0时，有0

(xy)e

xy



(xy)e

xy，而

(x,y)(,)

lim

xy

e

xy

lim

ue

2u

u

lim

xy

2ue

u

u

lim

2e

u

u

0

按夹逼定理得

(x,y)(,)

lim(xy)e0.7.证明下列极限不存在：（1）

lim

xyxy；

(x,y)(0,0)

x2y,42

（2）设f(x,y)xy

0,xy0,xy0,22

(x,y)(0,0)

limf(x,y).证明（1）当(x,y)沿直线ykx趋于(0,0)时极限

xyxy

xkxxkx

1k1k

(x,y)(0,0)

limlim

x0ykx



与k有关，上述极限不存在.（2）当(x,y)沿直线yx和曲线yx2趋于(0,0)有

lim

xyxyxyxy

(x,y)(0,0)

lim

xxxxxx

4x0yx

lim

xx1x

x0yx

0，(x,y)(0,0)

limlim

x0

2yx

xx

lim

x0yx

2x



12，故函数f(x,y)在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：

（1）zln(xy)；（2）z

1y2x

.解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数zln(xy)的间断点；（2）函数在抛物线y2x上无定义，故y2x上的点均为函数z点.9.用二重极限定义证明：

1y2x的间断

(x,y)(0,0)

lim

20.证

0



2





其中P(x,y)，于是，0，20；当0时，|OP|，0成立，由二重极限定义知

(x,y)(0,0lim

0.10.设f(x,y)sinx，证明f(x,y)是R2上的连续函数.证设P0(x0,y0)R2.0，由于sinx在x0处连续，故0，当|xx0|时，有

|sinxsinx0|.以上述作P0的邻域U(P0,)，则当P(x,y)U(P0,)时，显然

|xx0|(P,P0)，从而

|f(x,y)f(x0,y0)||sinxsinx0|，sinx作为x、y的二元函数在R2即f(x,y)sinx在点P0(x0,y0)连续.由P0的任意性知，上连续.