鸡兔同笼课例研究_鸡兔同笼竞赛研究
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《鸡兔同笼》教学案例研究
第一次教学设计
教学内容：
人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—115页内容。
【教材分析】
“鸡兔同笼”问题主要是借助“鸡兔同笼”这个题材，培养学生从多角度思考，运用多种方法解决问题的能力。在人教版、北师大版、苏教版等各种版本的教材中分别安排在五年级或六年级，在初中学习二元一次方程组时也专门安排了此项内容进一步学习。
【教学目标】
1、通过观察、思考、操作等多种手段认识“鸡兔同笼”问题，探究并掌握用一种或多种解决鸡兔同笼问题的方法，体会解决问题策略的多样性。
2、让学生在自主探索、尝试、合作学习的过程中，经历用不同方法解决鸡兔同笼问题的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
3、培养学生的合作意识，学生感受数学在现实生活中的广泛应用和数学的魅力，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。
【教学重点】
理解并掌握解决“鸡兔同笼”问题的方法。
【教学难点】
在解决问题的过程中，发展学生的数学思维能力。
【教学过程】
一、初步感知 引入课题
（一）学习准备.生活常识
1只鸡有（）个头，（）条腿。1只兔有（）个头，（）条腿。
2只鸡2只兔共有（）个头，（）条腿。7只鸡3只兔共有（）个头，（）条腿。
（二）引入课题
数学在中国历史久矣。中国是世界上最早研究数学的文明古国之一，我们的先辈写了很多在全世界都非常有影响力的著作，比如：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》等，这些著作对全世界数学的发展都有非常大的贡献。在我国古代数学名著《九章算术》、《孙子算经》中都记载了这样一道数学趣题。【设计意图】从生活常识入手，让学生感知鸡兔同笼问题的隐藏条件，一只鸡一个头两条腿，一只兔子一个头四条腿，资料的介绍引发学生的民族自豪感及学习数学的兴趣。
二、合作交流 探索新知
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？
（一）探索方法
1.学生小组交流，尝试解决问题。2.具体要求
（1）你能用自己的方法解决这个问题吗？（2）你能想出不同的方法吗？（3）你最喜欢那种方法，为什么？
（二）反馈交流，阐述方法
选择学生的一些典型解法，全班交流。
(三)分析比较，灵活选择
比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？
【设计意图】教师是课堂活动的组织者，引导者，学生才是课堂的主体。引导学生自主合作探究，并让学生通过同伴的讲解、阐述，学习掌握各种不同的方法。引导他们发现先自己方法的优劣，逐步掌握根据实际问题的不同，灵活地选择合适的方法，把学生对鸡兔同笼问题的解题策略提升到一个新的水平。
三、建构模型
1、初步提炼：从“鸡兔同笼”到日本人说的“龟鹤问题”，再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。
这些“龟鹤问题”、“人狗问题”虽然外表不是“鸡兔同笼的问题”，但是他具备了“鸡兔同笼的问题”的基本原理。
2、生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
3、游戏建模：利用一元、五元的纸币，数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，从四只脚的兔子到“五只脚的兔子”实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。
做一个“猜一猜”的游戏：
1元、5元纸币共15张，一共27元钱，1元、5元的纸币个多少张？
【设计意图】数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。解决一个问题的价值不在于这个问题的本身，更重要的是培养学生的思维能力，提升数学思想方法。
四、拓展应用1、12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？
2、师生共64人去划船，共租了20条船，恰好坐满，每条大船坐5人，每条小船坐3人，问大船和小船各租了几条？
【设计意图】学生综合运用所学方法，在解决实际问题中获得广泛的迁移，内化所学知识，建立良好的知识结构。
五、反思小结
1、生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
2、数学学习就应该是这样的——在不断的思考中逐渐深入„„
【设计意图】数学来源于生活，有一双数学的眼睛和一个数学的头脑，就会在生活中找到书上知识的生活原型。
第二次教学设计
教学内容： 人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—115页内容。
教学目标：
1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性和解题方法的巧妙性。.2、尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并能解决与之有关的生活中的实际问题。
3、在解决问题的过程中培养学生的合作意识和逻辑推理能力。
教学重点：尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题，使学生理解并掌握“鸡兔同笼”问题的解题方法。
教学难点：对“假设法”的理解和应用，用合理的方法解决生活中的实际问题。
教学过程：
一、创设情景，导入课题
1、同学们，大家还记得《数蛤蟆》的童谣吗?让我们一起来唱一遍好吗?大家都知道，这是一首关于小动物的童谣。其实，生活中不但有关于小动物的童谣、故事，还有许多关于小动物的数学趣题呢，大家请看大屏幕，瞧，它们是谁？鸡和兔都被关在同一个笼子，我们把它叫做鸡兔同笼，这就是我们本节课要探究学习的内容。（板书课题，学生齐读）
2、教师点明本节课的学习目标：本节课我们将一起探究用不同的方法解决鸡兔同笼的问题，学会一题多解，举一反三，究灵活运用。
二、自主探究，解决问题
1.出示例题：大家请看，这是我国数学名著《孙子算经》中的一道很有名的鸡兔同笼的应用题，大家还记得解答应用题的步骤吗？引导学生回忆（读→找→ 列→ 算 →答）
（1）请大家齐读一遍题目，找出已知条件和问题。（2）请大家默读一遍题目，找出隐藏的已知条件。（3）请大家自由读题，探求解题方法。
（4）请大家独立思考尝试解答，相信你，一定行！开始吧！
2.合作探究，一题多解：接下来请把你想到的解题方法在学习小组内说一说。比一比，哪组的解法多。没有想好的同学也不用着急，听听你的伙伴是怎样解答的。学生小组内交流解法，教师巡视倾听，捕捉收集不同解法，对有困难的小组加以指导。
3、汇报交流，异中求佳，优化解题方法。
（接下来，让我们把个小组的合作成果和大家一起分享好不好？注意认真地倾听，积极地思考，主动地交流，你一定收获不少。）
各小组展示交流，教师根据学生汇报的解题方法出示相应的课件，鼓励其他学生大胆质疑，让小老师讲解，不够完整的地方老师做相应的补充说明。学生解题可能会出现猜测、假设、列方程、列表格等方法，其重难点是假设法的理解，还有列方程中设小数为x是会出现不够减的情况，老师要注意启发引导尽量设大数为未知数，降低解方程的难度。让学生在听说的过程中达成学习目标。
A:课件出示表格
兔的只数 8 7 6 ? ? 鸡的只数 0 1 2 ? ? 脚的只数 32 30 28 ? ? 依次填写找出符合题意的的答案。这种方法可以叫做列表法。
B：猜想法 我们先猜鸡和兔各一半，都是4只，应有24只脚，少了两只脚，马上把一只鸡换成一只兔子，就是26只脚。
C: 假设法：
假设全是鸡 假设全是兔 8×2＝16（只）8×4＝32（只）26–16＝10（只）32–26＝6（只）4 –2 ＝ 2（只）4 –2 ＝ 2（只）兔：10÷2＝5（只）鸡： 6÷2＝3（只）鸡：8– 5＝ 3（只）兔：8 – 3＝ 5（只）D:列方程： 解 : 设兔有x只，鸡有（8-x）只。4 x +2（8-x）=26 4 x +16-2 x =26 16+2 x =26 2 x =26-16 x =5 鸡 :8-5=3(只)
解 : 设鸡有x只，兔有（8-x）只。2x+4（8-x）=26 2 x +32-4x=26 2x+32-2 x-2 x =26 2 x =32-26 x =3 兔 : 8-3=5(只)4.比较交流，融会贯通 从会做，到会用不同的方法来做，我们会的水平又提高了，但是，学数学讲究的是研究深入。
现在我们比较这几种不同的方法，你比较喜欢哪一种方法？说说你喜欢的理由。让学生说明自己喜欢的理由?
5、教师补充，同学们，你知道，古人是怎样解答鸡兔同笼的问题呢？请大家阅读教材第114页的补充资料，理解算法，有疑问就大胆的提出来。教师加以讲解古人的抬腿平分法：
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只? 抬腿平分法（鸡兔抬一只腿 兔抬两只腿）26÷2＝13（只）13－8＝5（只）„兔 8－5＝3（只）„鸡 鼓励学生大胆想象
两次抬腿法（鸡兔先抬一只腿 再抬一只腿）兔：（26 －8－8）÷2＝5（只）鸡：8 －5＝3（只）
答:鸡有3只，兔有5只
老师加以引导：具体问题具体分析，每种方法都有它的优点和局限性，我们要学会灵活运用。
三、深化练习，触类旁通，解决日本的龟鹤问题
同学们，鸡兔同笼问题漂洋过海，传到日本等国，就成了龟鹤问题。（课件出示教材第115页做一做第1题）日本的龟鹤问题与我们中国的鸡兔同笼问题有什么联系？你能用自己喜欢的方法快速解答吗? 学生独立解答，再用数码展台展示，集体订正。
四、游戏拓展
同学们，这节课我们研究了鸡兔同笼问题，大家积极动脑、大胆发言，用不同方法解答了同一个问题，表现得非常出色。为了表示奖励，接下来我们先来玩一个猜币游戏。老师这里有一个信封，装着2元和5元的纸币，一共10张。请大家猜一猜，钱的总数可能是几元钱的总数最多是几元？钱的总数最少是几元？如果设钱数为x，你认为x可能是多少，并说明理由。（根据学生回答板书：50小于等于x大于等于20）有没有不同看法？为什么呢？（既然你说装的是2元和5元的纸币，就至少要有一个2元的纸币，一个5元的纸币，应该大于20元，小于50元）。板书：23大于等于 x小于等于48）让学生感受数学思维的严谨
告诉大家，信封里共用38元纸币，请大家PK一下，2元的和五元的个几张？学生做题比赛，教师再拆开信封，看谁的答案正确。指名学生说说你的方法。让学生再次感受解题的多样性。
五、总结赠言
同学们，数学来自生活，生活中鸡兔同笼的问题有许多变式，如植树问题、划船问题、投篮得分问题、做题得分的问题等等，我们重在掌握其中的数学思想方法，学会举一反三，灵活运用，让我们在不变的追问和反思中，感受数学的魅力，形成新的智慧。
《鸡兔同笼》教学反思
鸡兔同笼问题是我国民间广为流传的数学趣题，原先是小学奥数学习的内容之一。现作为数学教材数学广角的内容，对于大多数学生来说有比较大的难度。
一、充分调动孩子已有认知是有效教学的前提
课始，我用带有拟人化的故事情境引入，既激起了学生学习的兴趣，引起了学生参与思考，参与研究的热情，又为假设法的研究做了深入细致的铺垫。看似讲故事，实则为新授课作了伏笔。既提升了古代趣题的趣味性．又分散了教学的难点。这样一开始孩子们就处于积极的学习状态，他们必须去搜索知识库中与本课知识有关的所有认知，为学习做好了必要的知识准备，同时能让他们很深切地感受到数学与生活的联系。
二、充分促使孩子主动学习是有效教学的保证
让学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，用数学语言清晰地表达自己的想法是培养学生思维能力的重要途径。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想，从一般验证到表格中数据变化规律的发现，从列表法很快自然联想到假设法、代数法，学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，学生的思维能力也随之得到了极大的提升。
有选择地让学生交流几种典型的解法，是对独立尝试解题过程的适度敛收，是对教学进程中动态生成的教学资源的甄别与有效利用。学生在自主探索后进行交流汇报，一方面拓宽了思路，加深了理解，另一方面也促使个性化的解题策略得到完善与修正。通过对几种典型解法的梳理、分析、比较，使学生在掌握不同解法的同时，能懂得这些解法之间的区别和联系，逐步在方法多元的基础上找到自我优化的生发点。《孙子算经》中给出的独特解法以及波利亚对这一解法“奇思妙想”的解释，进一步拓宽了学生的视野，同时又让学生浸染在中外数学文化交融的氛围里，使数学课堂也沐浴着人文的气息，数学思维不仅有理性的深邃，也有感性的快乐。
三、充分发挥老师的引导作用是有效教学的必要手段
通过“鸡兔”、“龟鹤”、等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，开始初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。龟鹤问题的介绍文化气息更浓，课堂又增添了几分鲜活。“猜纸币”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的策略把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象。将学生在前一个教学环节中初步建构起的数学模型作进一步的提炼。帮助学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。
但本节课还存在较多不足。首先是教学时间调控欠合理。由于教学内容的限制，课堂上让学生经历“猜测、列表、假设或方程解”的过程，尝试用不同方法解决问题，最后找到合理解决问题的策略，这样一节课的时间就显得不够用了，导致最后没有时间来解决生活中的实际问题。所以就只好把这个问题作为一个课后延伸，让学生收集生活中的类似“鸡兔同笼”问题，待到下一节课再研究。
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