导数的概念及其几何意义2_导数概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义2由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“导数概念及其几何意义”。

3.1.3

导数的概念和几何意义（1）

一、教学目标

(一)知识目标

1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2．通过函数图象直观了解导数的几何意义.（二）能力目标

掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标

通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点

导数的定义与求导的方法.三、教学难点

对导数概念的理解.四、教学过程：

（一）复习引入

师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？

生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f（x）；（2）f（x+d）－f（x）；

f(xd)f(x)（3）；

df(xd)f(x)趋于一个确定的常数.d师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.（二）探求新知

1.增量、变化率的概念（4）当d趋于0时，对于函数yf(x),P0(x0,y0)是函数图象上的一点，Q(x1,y1)是另一点，自变量从x0变化为x1时，相应的函数值有y0变为y1，其中x1－x2叫做自变量x的增量，记为△x，y1－y0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△y，则yf(x1)f(x0).y叫做函数的x变化率（或函数f(x)在步长为△x的差商）.★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2．导数定义

f(x0d)f(x0)设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时，d（d≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f(x)在x=x0处的导数或微商，记做f'(x).上述定义的符号表示为：f(x0d)f(x0)f'(x0)(d0).d这个表达式读作“d趋于0时，f(x0d)f(x0)趋于f'(x0).d简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★f'(x)也是关于x的函数，叫做函数f(x)的导函数.3．求导数的步骤

（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0).；（2）求平均变化率

yf(x0x)f(x0)=； xx（3）令△x→0，差商→f'(x0).4．导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率f'(x0).5．导数的物理意义

函数ss(t)在点t0处的导数s'(t0)的物理意义是运动物体在时刻t0处的瞬时速度.（三）讲解例题

例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W1（t），W2（t）分别表示甲、乙企业在时刻t的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？

分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好.解：在时刻t1处，虽然W1（t）=W2（t），排即排污量相同，但是考虑到一开始

污量有W1（t0）＞W2（t0），所以有 W1（t）W1(t1)W1(t0)W2(t1)W2(t0)

t1t0t1t0W2（t）标准t1t2说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均 治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2 投石入水，水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图），Ar=ar=a+h 计算：

（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积相对于 r的平均变化率；

（2）半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率.分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。它同例1及我们前面讨论过的运动物

体的平均速度，以及函数曲线的割线斜率一样，从数学的角度看，都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比，即差商。而题（2）则是求圆面积的瞬时变化率，实际实际上就是求函数Sa的瞬时变化率.而它与我们已经较为熟悉的瞬时速度，切线的斜率等都是相应函数的瞬时变化率。利用本例，课本给出了函数导数的概念，而学生则又一次体验寻求瞬时变化率（即平均变化率在某点处的极限）的过程.有利于学生更深刻理解导数的概念.解：（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积从a增加到(ah)2，其改变量为

22[(ah)2a2]，而半径r的改变量为h，两者的比就是所求的圆面积相对于半径r的平均变化率：[(ah)2a2]h(2ahh2)h(2ah).（2）在上面得到的平均变化率表达式中，让r的改变量h趋于0，得到半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率为2a.at例3 在初速度为零的匀加速运动中，路程s和时间t的关系为ss(t).2（1）求s关于t的变化率，并说明其物理意义；

（2）求运动物体的瞬时速度关于t的变化率，说明其物理意义.分析：本题是导数概念在物理学中的运用，题（1）直接利用导数的定义运算得出位移函数s关于时间t的导数（即运动物体的瞬时速度），而题（2）则是求瞬时速度关于时间t的瞬时变化率（运动物体的加速度）.通过本例，一方面加深学生对导数定义的理解，另一方面则从数学的角度对加速度作了较为严格的定义.at2解：（1）s关于t的变化率就是函数ss(t)的导数s'(t).按定义计算有

2a(td)2at2d2a(td)s(td)s(t)ad222，当d趋于0时，此式趋于at，atddd2即s'(t)at.从物理上看，s关于t的变化率at就是运动物体的瞬时速度.（2）运动物体的瞬时速度关于t的变化率，就是s'(t)at的导数s“(t).按定义运算有

s'(td)s'(t)a(td)atada，当d趋于0时，a还是a，所以s”(t)=a，它ddd是运动物体的加速度.（四）应用新知

课本P95——练习1，2 解：1．函数y=x2－3x在区间[－1，1]上的平均变化率为－3.3(2d)22(2d)13222212．[2，2+d]上的平均速度143d，当d=

1d时，平均速度为17,当d=0.1时，平均速度为14.3，当d=0.01时，平均速度为14.03，令d趋向于0，得到在t=2时的瞬时速度为14.（五）课堂小结

1． 导数的定义是什么？

2． 用定义求解函数的导数的步骤有几步？

五、布置作业

课本P95—习题3

3.1导数概念及其几何意义

3.1导数概念及其几何意义重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x≠......

导数的概念及其几何意义3导学案

导数的概念及其几何意义3导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址三大段一中心五环节高效课堂—导学案制作人：张平安修改人：审核人：班级：姓名：组名：课题第六课时导......

导数几何意义的应用

七、导数几何意义的应用例15 （1）求曲线y= x11+ 在点(1,21)处的切线方程（2）已知曲线 （t为参数），求曲线在t=1处的法线方程。....= += tarctanty)t1ln(x2 解 （1） 2)x1( 1x11y+ .= ′ .........

导数几何意义说课稿[推荐]

导数的几何意义说课稿尊敬的各位评委老师下午好，我是**第一中学的刘*，今天我说课的内容是人教B版选修2-2第一章1.3节导数的几何意义。下面我将从六个方面来阐述对本节课的理解......

导数的定义与几何意义

导数一．导数的定义1.给定函数f(x)，则limx0f(x0x)f(x0)（）xA f'(x0)B f'(x0)C f'(x0) Df'(x0)f(x0k)f(x0)（）k02kf(12x)f(1)（） 3.已知函数f(x)2lnx8x，则limx0x2.若f'(x0)2，则lim二．导......