复数+平面向量+三角函数(解析版)_三角函数平面向量复数

2020-02-28 其他范文下载本文

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【高中文科数学专题复习之___】

复数+平面向量+三角函数

一、要点梳理

1、复数的有关概念

（1）复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,d∈R).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

（4）复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模

向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记为|z|或|a+bi|，即

2、复数的几何意义 复平面内的点Z（a,b）(a,b∈R);（1）复数z=a+bi

平面向量OZ（a,b∈R）（2）复数z=a+bi。

3、复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;

②减法：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;

③乘法：z1· z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法：一一对应一一对应z1abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(cdi0)z2cdi(cdi)(cdi)c2d

2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。

4.向量的坐标运算

（1）A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1)

（2）设i,j为x,y轴正向单位向量，若ABxiyj，则记AB(x,y)

xxyyxxyy（3）若a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab(1ab(1 2,12)2,12)

a(x1,y1)abx1x2y1y

2aa//b

二、习题精练

x1y

1x1y2x2y1abx1x2y1y20 x2y．（2013年新课标Ⅱ卷）设复数z满足(1i)z2i,则z

A．1i

B．1i

C．1i

D．1i

（A）．（2013年山东）若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位),则z的共轭复数为（D）

A．2i

B．2i

C．5i

D．5i

（C）．（2013年广东）若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是

A.2,4 B．2,4 C．4,2 D．4,2

（B）．（2013年辽宁）复数的Z

模为 i1

CD．2

A．2

5．（2013年高考四川）如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是（B）

A．A B．B C．C D．D 6 ．（2013年新课标1）若复数z满足(34i)z|43i|,则z的虚部为

A．

4B．

（D）

C．4 D．

5（B）

7．（2013年浙江）已知i是虚数单位,则(1i)(2i)

A．3i

B．13i

C．33i

D．1i

8.把函数y＝sin2x的图象按向量→a＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，||＝62的图象，则和B的值依次为



A．

312



C．3

（B）D．－3

B．，3

9.已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；

C－3B（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.3→【解】（Ⅰ）∵p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，4又A为锐角，所以sinA＝

3A＝2

3

(π－B)－3B

3C－3B

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

213

＝2sin2B＋cos(2B)＝1－cos2B＋sin2B

322

31

＝＋1＝sin(2B－)＋1.226

5

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－)，∴2B－＝B＝ymax＝2.2666623

3→10.已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b． 2（Ⅰ）求tanα的值；

α（Ⅱ）求cos(＋的值．

23→→→→解：（Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

41由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα

314

∵α∈，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

223

3α3

（Ⅱ）∵α∈（2π）∈（π）．

2244α1αα5α2

5由tanα，求得tan，tan＝2（舍去）．∴sincos，32222525

ααα25153

∴cos(＝coinsin＝－

232323525210

→11.设函数f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.2（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.→解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(＝2，得m(1＋sin＋cos＝2，解得m＝1.222(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，4

当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为12.AA→A

12.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若→m＝(－，sin)，n＝，222A1→sin，a＝23，且→m·n＝．

（Ⅰ）若△ABC的面积S＝3，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范围．

AAAA1→→【解】（Ⅰ）∵m＝(－，sin)，→n＝(cos，sin，且→m·n＝ 22222

AA11

∴－cos2＋sin2，即－cosA＝

2222

2

又A∈(0，π)，∴A＝3

又由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，2

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosb2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.bca2

（Ⅱ）由正弦定理得：＝4，又B＋C＝－A＝