直线与平面平行_直线与平面的平行
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直线与平面平行
高考要求
2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化
例1如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，例3已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角
N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE
E
例2如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD
学生练习
1设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是（）Aα⊥β且m⊥βBα∩β=n且m∥n ∥n且n∥αDα∥β且mβ
2那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）
A异面BCD
3两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是（）Aa∥αBa与α相交C与α不相交Daα
小结:
112）证明两直线都与第三条直线平行3）同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合（4）应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线2（1）根据定义，用反证法证明2）证明直线在平面3）证明直线在与已知平面平行的平面内4）向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直小结:
1证明两直线平行的常用的方法有（12）证明两直线都与第三条直线平行3）同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所
作直线与第一条直线重合（4）应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线
（12）证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行3）证明直线在与已知平面平行的平面内4）向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直（1）根据定义用反证法证明（2）证明一平面内的两相交直线与另一平面平行（或与另一平面内的两条相交直线平行）（3）证明两平面都垂直于同一条直线例1证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥又NQ=BN=
2CM=MP，∴MPQN是平行四边形
∴MN∥PQ，PQØ平面BCE而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG∵MG∥BC，BCØ平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCEBG又
GA=CMMA=BNNF，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCEMG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCEMNØ平面MNGE∴MN∥平面BCE点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行
例2证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN∵BB1⊥平面ABCD，C1∴BB1⊥AB，BB1⊥BCA∴EM∥BB1，FN∥BBEM∥FN又B=CFN
1E1F，∴EM=故四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD
证法二：过E作EG∥AB交BBB1于点G，连结GF，则1EB1A1∵BC1E=C1F，B1A=C1B，∴
1FCBFG∥B1C1∥BCEG∩FG=G，AB∩BC=B，11∴平面EFG∥平面ABCDEF在平面EFG中，∴EF∥平面
点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MAMN∥又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角
由正棱锥的性质知PO=PB2
OB2由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BEPEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=6
58，根据余弦定理，得PE=91
2918在Rt△POE中，PO=2，PE=8，PO
∴sin∠PEO=PE故MN与平面ABCD所成的角为
点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行线与面所成的角MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD用向量法求角，后面有专门的介绍1．答案：D
2．解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c又bα，α∩β=l，∴b∥la∥l答案：C 3．答案：C
