空间直线和平面总结_知识结构图+例题_空间与图形知识结构图

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空间直线和平面

［知识串讲］

空间直线和平面：

（一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 //a,ab//b a a//b  b a,b  a// a,b A b  a abA a//,b// 公理4(a//b,b//c a//c)线线∥ 线面平行判定 线面平行性质 线面∥ //面面平行判定1 面面平行性质 面面∥ 面面平行性质1 ////a ba//a//b//a // a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化： abO la,lba,bl  aa 面面⊥ 三垂线定理、逆定理 线线⊥ PA,AO为PO在内射影a则aOAaPOaPOaAOl线面垂直判定1 线面垂直定义 线面⊥ 面面垂直判定 面面垂直性质，推论2 a la ba a,ab a a 面面垂直定义 l，且二面角l成直二面角 

3.平行与垂直关系的转化：

a//baaa b a// 线线∥ 线面垂直判定2 线面垂直性质2 ab线面⊥ 面面平行判定2 面面平行性质3 面面∥ a//b //aa

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5.唯一性结论：

（三）空间中的角与距离

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°

（0时，b∥或b）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

【典型例题】

例.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）

A.32B.102C.35D.25

分析：如图，取AB中点E，CC1中点F

连结B1E、B1F、EF

则B1E//AM，B1F//NC

∴∠EB1F为AM与CN所成的角

又棱长为1 B1E556，B1F，EF222

B1E2B1F2EF22cosEB1F2BEBF5 1

1∴选D

例3.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：

①/lm

③l//m

A.①与② B.③与④

②l//m④lm//

C.②与④

D.①与③

其中正确的两个命题是（）

对于①

分析：lllm//m①正确

l对于②a/l//m，如图m

∴②错

对于③

lml//mm③正确

l对于④lm///，如图m

∴①③正确，选D

∴④错

例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO

∵底面ABCD是正方形

∴点O是AC中点

又E为PC中点

∴EO//PA

又EO面EDB，且PA面EDB

∴PA//面EDB

（2）∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

又BCDC且PDDCD

∴BC⊥面PDC

∴BC⊥DE

又E为等直角三角形中点

DEPC且PCBCC

∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB

又已知EFPB且EFDEE

∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。

证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C

则AE面B1BCC1，A1E1面B1BCC1及EB1//E1C

AE面B1BCC1EBBC11E1CBC1AB1BC1EB1//E1CA1CBC1AE面BBCC1111

注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6.下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。

（1）D1 P C1 M A1 B1 N l D C A B（2）D1 C1 A1 B1 l N（3）D1 C1 A1 P 1 B N l D C M A B

M D C P A B

分析：①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直

MPl，MNll面MNP

②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直

l面MNP

③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直

∴l⊥面MNP 例7.如图，斜三棱柱ABCA'B'C'中，AC'A'B，AA'AC8，AB10，∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。

（1）求证：面AA'C'C面ABC；

（2）求侧面AA'B'B的面积。

分析：要证明面AA'C'C面ABC，只要证明BC面AA'C'C，又BCAC，只要

证明BCAC'，故只要证明AC'平面A'BC。

证明：（1）∵AA'C'C为菱形

AC'A'C

又AC'A'BAC'面A'BCAC'BC

又∠ACB=90°，即AC⊥BC

BC面AA'C'C

又BC面ABC

（2）作A'DAC于D

面AA'C'C面ABC，AC为交线

A'D面ABC 面ABC面AA'C'C

A'AC∠60°

∠A'AD为侧棱AA 与底面成的角，即

过D作DEAB于E，连结A'E，则A'EAB

又AD8cos604，A'D8sin60

∴D为AC中点

在RtABC中

DEADBCABDE4612105

A'EA'D2DE2(43)2(1228)2155

S平行四边形A'ABB'ABA'E

1082116215

例8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求：

（1）C到A’D的距离；

（2）D到平面A’BC的距离；

（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。

解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角

又A’E⊥ED，CE⊥ED

∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED

作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D

∴CF即为C点到直线A’D的距离

在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED

EF431255

FCEF2EC2(122434)4255

DE//BC，BC面A'BC，DE/面A'BC

∴DE//面A’BC

（2）

∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离

过E作EM⊥A’C于M

∵ED⊥面A’EC

又BC//ED

∴BC⊥面A’EC

∴BC⊥EM

∴EM⊥面A’BC

∴EM为E点到平面A'BC的距离即为D点到面A'BC的距离且EM=2或者用体积法：

由VDA'BC11即SA'BChSBCDA'EVA'BCD

1BCCEA'ESBCDA'E2h221SA'BCBCA'C2

（3）设A'D与平面A'BC所成角为

2）知D点到面A'BC的距离为h22及A'D又由（sinh22A'D5

例9.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB90°，AC1，CB2，侧棱

AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。

（1）求证：CD平面BDM；

（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。（1）证明：连结CA1，则CA1

又D为A1B中点

易知AC面BB1C1C

2BC

CDBD①

CB1是CD在底面BB1C1C上射影

故只要BMCB设BMCB1E

在RtCBB1和RtBB1M中

BB1CB21BB11MB122

又∠CBB1∠BB1M90°

RtCBB1~RtBB1M

1∠B1BM

∠BCB

又∠B1BM∠CBM90°

1∠CBM90°

∠BCB∠CEB90° BMCB1BMCD②

由①②知CD面BDM

（2）解：AB1312

B1DBDBB11 2

即△B1DB为正三角形，取BD中点F，则B1FBD

//1NFCD2

又取BC中点N，连结NF

又CDBD

∠NFB1为所求二面角的平面角

NFBD

26又B1N()12，CDBC2BD222

22121212

NF13，B1F22

136()2()2()2FNFBNB322cos∠NFB122FNFB313222

在△DCB1中由余弦定理

所求二面角为arccos33

【模拟试题】

一.选择题

1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）

A.成异面直线 B.相交

C.平行

D.平行或相交

2.已知直线a，b，平面，，，有下列四个命题

①a//，a////；

③a，a//；

其中正确的命题有（）

A.①②③ B.①②④

C.②③④

D.以上都不对

②//，///；

④a，b，a//b//

3.边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，角B－AD－C的大小为（）

A.30° B.45°

C.60°

D.90°

BC1a2，这时二面

4.设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（）

A.过P有一条直线和a，b都平行

B.过P有一条直线和a，b都相交

C.过P有一条直线和a，b都垂直

D.过P有一个平面与a，b都平行

5.若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（）

A.90°

二.填空题

6.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则

（1）A点到CD1的距离为_____________

（2）A点到BD1的距离为_____________

（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________

（4）A点到面A1BD的距离为_____________

（5）AA1与面BB1D1D的距离为_____________

7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC中点，现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则VAGEF=_____________。

8.把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离为_________________。

B.60°

C.45°

D.30°

D C A B D1 C1 A1 B1

9.如图PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是_____________。

10.平面平面，其交线为l，A，B，AB与所成角为30°，则AB与α所成角的取值范围是_____________。三.解答题

11.四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点。求：

（1）BC与面SAB所成的角；

（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

13.在矩形ABCD中，已知AB1AD2，E是AD的中点，沿BE将△ABE折到△A'BE的位置，使A'CA'D。

（1）求证：平面A'BE平面BCDE。

（2）求A'C和面BCD所成角的大小。

14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，（I）求VSABCD；

（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

【试题答案】 一.1.C 2.C

3.C

AD12。

4.C（当P点和直线a确定的平面与b平行时，则过P点的直线与a不相交，∴B错，当P点在a或b上时，D不成立）

5.A 二.6.（1）66232，（2），（3），（4），（5）23232 15a

49.①②③

10.（0°，60°] a

37.24

8.（如图∠ABD≥30°，∴90°－∠BAD≥30°

∴∠BAD≤60°

∴0

∴SC⊥面SAB

∴SB是CB在面SAB上的射影

∴∠SBC是直线BC与面SAB所成的角，且为60°

（2）连SM，CM，则SM⊥AB（△SAB为等腰Rt△）

∴AB⊥面CSM, 设SH⊥CM于H，则AB⊥SH

∴SH⊥面ABC

∴∠SCH为SC与平面ABC所成的角

设SB=SA=a, 则SM2a，SCatg60°3a2

CM(3a)2(sin∠SCH22a)27a2

SM7CM7

注：“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面ABC的斜线。

12.证：（1）∵PA⊥面ABC，PC在面ABC上射影为AC

又AB为⊙O直径

∴BC⊥AC

∴BC⊥PC

∴BC⊥面PAC

又BC面PBC ∴面PAC⊥面PBC

（2）由（1）知BC⊥面PAC

又AE面PAC

∴BC⊥AE，又PC⊥AE

∴AE⊥面PBC

又AE面AEB

∴面AEB⊥面PBC

或者：由（1）知面PAC⊥面PBC，PC为交线

又AE⊥PC

∴AE⊥面PBC

又AE面AEB

∴面AEB⊥面PBC

注：线线垂直线面垂直

面面垂直

13.（1）取BE中点M，CD中点N，连A M，MN，A'N，M、N分别为中点

A'BA'E，A'CA'D A'MBE，A'NCD，MNCDCD面A'MNCDA'M又BE与CD不平行，必相交A'M面BCDE又A'M面A'BE

面A'BE面BCDE

（2）连结MC，∵A'M面BCDE

∴∠A'CM就是A'C与面BCDE所成的角, 设AB=a，则

A'M2a2

3a510在RtMNC中，MC2MN2NC2(a)2()2a2MCa222

2在RtA'CM中，tg∠A'CM

14.分析：易证AD⊥面SAB

2a525105a∠A'CMarctg2

513(ADBC)AB24

（I）VSABC1SASABCD3SABCD

VSABC1311344

（II）延长CD、BA交于点E

连结SE，SE即为面CSD与面BSA的交线

又∵DA⊥面SAB

∴过A作AF⊥SE于F

连FD，则DF⊥SE

∠AFD为二面角的平面角

又易知△SAE为等腰直角三角形，F为SE中点

122SESA2221AD2又ADtanAFD2FA2

AF

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