函数的奇偶性教案_函数的奇偶性优秀教案
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3.4 函数的基本性质（1）奇偶性（课时一）
教学目标
1．能够理解函数奇偶性的概念．
2．通过参与函数奇偶性概念的形成过程，养成观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
3．学生能够具有从特殊到一般的概括能力．
教学重点：函数奇偶性概念 教学难点：函数奇偶性的判定．
教具准备：幻灯片，投影仪，彩色粉笔，黑板 教学过程设计：
师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？
(幻灯．翻折片．)
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)．
（生：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数的定义域是定义域为全体实数的折线；函数为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图像关于y轴对称。）
师：那么究竟什么叫关于y轴对称？
（生：从初中所学的轴对称概念可知，如果图形F与F′关于y轴对称，那么把图形F沿y轴折过来，一定与图形F′重合。）
师：(幻灯演示)将
在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
(幻灯演示)我们在函数
位于y轴右侧的图象上任取一点(x，f(x))，通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′,f(x′)）.同学们由图像观察一下，这两个点的坐标有什么关系？
生：x=-x′,.也就是说，当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等．
师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？
生：一般地，如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数．
(当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．)
师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意实数x，都有f(－x)=f(x)”说明了什么？
生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的．
师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？
生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件．
师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义．
生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．
师：下面我们看几个习题．
(幻灯)
1．判断下列函数是否是偶函数．
(1)
(2)
生：函数f(x)=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称．
函数
也不是偶函数。因为它的定义域为｛x|x∈R且x≠1｝，并不关于原点对称．
(对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．)
(多重复合幻灯)
同学们，让我们再来观察下一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？
(幻灯．旋转片)
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称．
师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？
生：从初中所学的中心对称概念可知，所谓图形F与F′关于原点对称，就是把图形F在它们所在的平面绕着原点旋转180°，一定能与图形F′重合。
师：(幻灯演示)将转180°，我们发现它与
在第一象限内的图象，绕着原点旋在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？
生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数．
师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？
生：如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
师：定义中“任意实数x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？
生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的．
师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？
生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．
师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？
生：有．函数f(x)=0，x∈R就是一个．
师：那么这样的函数有多少个呢？
生：只有函数f(x)=0，x∈R一个．
师：再想一想．函数的三要素是什么呢？
生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域．
师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数．
生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f(x)=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；f(x)=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等．
师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)；
（2）
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．
解(1): f(x)的定义域是｛x|4＋x＞0且4－x＞0｝=｛x|－4＜x＜4｝，它具有对称性．
因为 f(－x)=lg(4－x)＋lg(4＋x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数．
(2)：当x＞0时，－x＜0，于是
当x＜0时，－x＞0，于是
.综上可知，在上，g(x)是奇函数．
例2 设F(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F(x)的解析式是，求F(x)在R上的表达式．
解 任取x∈(－∞，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一个点．由于F(x)是奇函数,所以，取x>0,则-x
=-
F(x)，所以F(x)=，（x>0）
当x=0时，F(－0)=－F(0)，即F(0)=0．所以奇函数
(今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．)练习：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20]；
2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)；
3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]；
4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|；
5．f(x)=|x－2|－|x＋2|；
6．f(x)=5；
生：1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20)的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数．
2．f(x)=x＋x，x∈[－2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数．
3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数．
4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f(－x)=|－x－2|＋|－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f(x)，且x∈R，所以是偶函数．
5．f(x)=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f(－x)=|－x－2|－|－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－(|x－2|－|x＋2|)=－f(x)，且x∈R，所以是奇函数．
6．f(x)=5是偶函数．这是因为f(－x)=5=f(x)，且x∈R，所以是偶函数．
师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件． 小结：师生一起归纳这节课所学的知识。3 作业课本P66练习第1,2,4，6题．
1．设f(x)在R上是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1
补充题：
－x)．试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？
(解 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)=－x(1＋x)．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=－f(－x)=－[－x(1＋x)]=x(1＋x)．)
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