第五届全国高中青年教师优秀课观摩与评比教案《函数的单调性》教案(绵阳中学赵志明)_三角函数的单调性教案

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函数的单调性（教案）

(绵阳中学数学组)

赵志明

一、教学目标：

1、理解增函数和减函数的定义；

2、会利用定义证明函数的单调性；

3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；

4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。

二、重点和难点:

1、教学重点:函数单调性的概念和判断；

2、教学难点:利用函数单调性的定义或者函数的图象判断函数的单调性。

三、教学方法和手段:

1、教学方法:采用探索发现法和启发式讲解法；

2、教学手段:利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解

提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内的变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。

四、教学过程：

（一）问题情境：

(1)近六届世界杯进球数如下表：画成折线图：

规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。（板书课题）

（二）建构定义:

1、引入直观性定义：

观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）

(1)f(x)x1(2)f(x)x

问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）

问题4:函数f(x)x2在区间y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；

教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。

2、严格数学语言定义：

多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势

当

xy也增大

1x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)

问题5：若区间内有两点x1x2时，有f(x1)f(x2)，能否推出f(x)是单调递 增函数？

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构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x

2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。由学生类比得到减函数的定义：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。注:

(1)x1,x2三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x1x2；(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

举例：yx2在(0,)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。(三)定义应用:

例

1、下图是定义在[－5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出函数yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，yf(x)是增函数还是减函数。

分析：动画演示，帮助学生理解。

解：yf(x)的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。

其中yf(x)在[－5，－2）,[1，3）上是减函数； 在[－2，1），[3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：

问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？ 问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？ 多媒体展示构造反例说明：

（1）单调区间一般不能求并集；

（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。

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例

2、试判断函数f(x)x2x 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。

分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？2：如何用定义法判定函数单调性？

3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）

证明：函数f(x)x2x 在（0，＋∞）上是增函数

设x1、x2 是(0,＋∞)上的任意两个值,且x1

x2则f(x

1)f(x2)

(x1

2

x1)(x22x

2)

(x1x2)（x1x2）

取值

(x1x2)(x1x2)（x1x2）(x1x2)(x1x21)

又0x1x2，故x1x20，x1x210 则f(x1)f(x2)0，即：f(x1)f(x2)

因此，函数f(x)x2x 在（0总结定义法证明函数单调性的步骤：

1、取值:设任意x1、x2属于给定区间，且x1x2；

作差变形

定号 下结论

2、作差变形:f(x1)f(x2)变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

3、定号:确定f(x1)f(x2)的正负号；

4、下结论:由定义得出函数的单调性。思考题：

在上面证明中，你能理解x1、x2的任意性的意义吗？

解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。

四、课堂练习：

（1）课本P65页1，（0，）（2）证明:函数y在上是减函数。（动画演示帮助理解）x

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课后思考：

函数

f(x)在R上单调递增，那么，f(x1)f(x2)的符号有什么规律？若单调

x1x

2递减，又该如何?

五、回顾小结：

1、函数单调性的定义；

2、判定函数单调性：

（1）方法：图象法，定义法；

（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。

六、课后作业：

1、必做题：课后练习1，4，6，2、选做题: 课后练习7

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