7.3教案_73教案

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§7 3 曲面及其方程

一、曲面方程的概念

在空间解析几何中 任何曲面都可以看作点的几何轨迹 在这样的意义下 如果曲面S与三元方程

F(x y z)0 有下述关系

(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x y z)0 

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z)0

那么 方程F(x y z)0就叫做曲面S的方程 而曲面S就叫做方程F(x y z)0的图形 

常见的曲面的方程

例1 建立球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为R的球面的方程 

解

设M(x y z)是球面上的任一点 那么

|M0M|R  即

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R

222或

(xx0)(yy0)(zz0)R 

这就是球面上的点的坐标所满足的方程 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以

(xx0)(yy0)(zz0)R 

就是球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为R的球面的方程 

特殊地 球心在原点O(0 0 0)、半径为R的球面的方程为

xyzR 

例2 设有点A(1 2 3)和B(2 1 4) 求线段AB的垂直平分面的方程 

解

由题意知道 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹 设M(x y z)为所求平面上的任一点 则有

|AM||BM|

即

(x1)2(y2)2(z3)2(x2)2(y1)2(z4)2 

2等式两边平方 然后化简得

2x6y2z70 

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程 

研究曲面的两个基本问题

(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面的方程 

(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状 

例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？

解

通过配方 原方程可以改写成(x1)(y2)z5 

这是一个球面方程 球心在点M0(1 2 0)、半径为R5 

一般地 设有三元二次方程

Ax2Ay2Az2DxEyFzG0

这个方程的特点是缺xy  yz  zx 各项 而且平方项系数相同 只要将方程经过配方就可以化成方程

2(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 的形式 它的图形就是一个球面 

二、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴 

设在yO z 坐标面上有一已知曲线C 它的方程为

f(y z)0

把这曲线绕z轴旋转一周 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面 它的方程可以求得如下

设M(x y z)为曲面上任一点 它是曲线C上点M1(0 y1 z1)绕z轴旋转而得到的 因此有如下关系等式

f(y1, z1)0 zz1 |y1|x2y2

从而得 f(x2y2, z)0

这就是所求旋转曲面的方程 

在曲线C的方程f(y z)0中将y改成x2y2 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(x2y2, z)0 

同理 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y, x2z2)0 

例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面叫做圆锥面 两直线的交点叫做圆锥面的顶点 两直线的夹角(0 )叫做圆锥面的半顶角 试建立顶点在坐2标原点O 旋转轴为z轴 半顶角为的圆锥面的方程 

解

在yO z 坐标面内 直线L的方程为

zycot  

将方程zycot 中的y改成x2y2 就得到所要求的圆锥面的方程

zx2y2cot

或

za(xy)

其中acot   

x2z

2例5 将zOx坐标面上的双曲线221分别绕x轴和z轴旋转一周 求所生成的旋转

ac2

22曲面的方程 

解

绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为

22x2yz1 a2c2

绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为

x2y2a2z221  c

这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面 

三、柱面

例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？

解

方程x2y2R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标z 即不论空间点的竖坐标z怎样 只要它的横坐标x和纵坐标y能满

222足这方程 那么这些点就在这曲面上 也就是说 过xOy 面上的圆xyR 且平行于z轴的直线一定在xyR表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆xyR移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆xyR叫做它的准线 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线 

例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？

解

在空间直角坐标系中 过xOy 面上的圆xyR作平行于z轴的直线l  则直线l上的点都满足方程x2y2R2 因此直线l一定在x2y2R2表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2y2R2移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆x2y2R2叫做它的准线 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线 

柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面 定曲线C叫做柱面的准线 动直线L叫做柱面的母线 

上面我们看到 不含z的方程xyR在空间直角坐标系中表示圆柱面 它的母线平行于z轴 它的准线是xOy 面上的圆x2y2R2 

一般地 只含x、y而缺z的方程F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面 其准线是xOy 面上的曲线C F(x y)0 

例如 方程y22x表示母线平行于z轴的柱面 它的准线是xOy 面上的抛物线y22x 该柱面叫做抛物柱面 

又如 方程 xy0表示母线平行于z轴的柱面 其准线是xOy 面的直线 xy0 所以它是过z 轴的平面 

类似地 只含x、z而缺y的方程G(x z)0和只含y、z而缺x的方程H(y z)0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面 

例如 方程 xz0表示母线平行于y轴的柱面 其准线是zOx 面上的直线 xz0 所以它是过y轴的平面  四、二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面

怎样了解三元方程F(x y z)0所表示的曲面的形状呢方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线的形状 然后加以综合 从而了解曲面的立体形状 这种方法叫做截痕法

研究曲面的另一种方程是伸缩变形法

设S是一个曲面 其方程为F(x y z)0 S 是将曲面S沿x轴方向伸缩倍所得的曲面

1显然 若(x y z)S 则(x y z)S 若(x y z)S 则(x, y, z)S

2222

2222

1

1因此 对于任意的(x y z)S 有F(x, y, z)0 即F(x, y, z)0是曲面S的方程



例如，把圆锥面x2y2a2z2沿y轴方向伸缩b倍 所得曲面的方程为

a2a2x2y22x(y)az 即22z2

bab2

(1)椭圆锥面

2x2y由方程22z2所表示的曲面称为椭圆锥面

ab

圆锥曲面在y轴方向伸缩而得的曲面

把圆锥面x2y2a2bxz沿y轴方向伸缩倍 所得曲面称为椭圆锥面222y2b2aaz2

以垂直于z轴的平面zt截此曲面 当t0时得一点(0 0 0) 当t0时 得平面zt上的椭圆

y2x21(at)2(bt)2

当t变化时 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆 当|t|从大到小并变为0时 这族椭圆从大到小并缩为一点 综合上述讨论 可得椭圆锥面的形状如图

(2)椭球面

22x2y由方程22z21所表示的曲面称为椭球面

abc

球面在x轴、y轴或z轴方向伸缩而得的曲面

x2y2z2cb21 再沿y轴方向伸缩

把xyza沿z轴方向伸缩倍 得旋转椭球面2aaac2222倍 即得椭球面x2a2y2b2z21 c2

(3)单叶双曲面

22x2y由方程22z21所表示的曲面称为单叶双曲面

abc

x2y2a2z221 c把zOx面上的双曲线bax2z21绕a2c2z轴旋转 得旋转单叶双曲面

2x2yz21 a2b2c2再沿y轴方向伸缩倍 即得单叶双曲面

(4)双叶双曲面

2x2yz2由方程2221所表示的曲面称为双叶双曲面

abc

把zOx

x2z2面上的双曲线221绕

acx轴旋转

22x2zy得旋转双叶双曲面221

ac再沿y轴方向伸缩倍 即得双叶双曲面

(5)椭圆抛物面

由方程x2a2y2b2bc2x2yz21 a2b2c2

z所表示的曲面称为椭圆抛物面

x2y2x2z 再沿y轴

把zOx面上的抛物线2z绕z轴旋转 所得曲面叫做旋转抛物面a2a

2bx2y方向伸缩倍 所得曲面叫做椭圆抛物面22z

aab

(6)双曲抛物面

由方程x2a2y2b2z所表示的曲面称为双曲抛物面

双曲抛物面又称马鞍面

用平面xt截此曲面 所得截痕l为平面xt上的抛物线

y2b2zt2a2

2此抛物线开口朝下 其项点坐标为(t, 0, t2) 当t变化时 l的形状不变 位置只作平移 而l

a的项点的轨迹L为平面y0上的抛物线 zx2

a因此 以l为母线 L为准线 母线l的项点在准线L上滑动 且母线作平行移动 这样得到的曲面便是双曲抛物面

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面

22y2y x221 x221 x2ay

abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面

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