高等代数北大版教案第5章二次型_北大版高等代数教案

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第五章 二次型

§1 二次型的矩阵表示

一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示

二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型

四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：

定义：设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x22a1nx1xn(3)a22x22a2nx2xn…annxn称为数域P上的一个n元二次型，或者，简称为二次型.22例如：x1x1x23x1x32x2 就是有理数域上的一个4x2x33x323元二次型.定义1 设x1,x2,,xn，y1,y2,,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn (4)xncn1y1cn2y2cnnyn称为x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 cij0，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：

·４８·令 aijaji，ij 由于 xixjxjxi,那么二次型(3)就可以写为

f(x1,x2,,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xna21x2x1a22x2a2nx2xn…+an1xnx1an2xnx2annxnnnaijxixj(5)

i1j1把(5)的系数排成一个nn矩阵

a11aA21an1a12a22an2a1na2n

ann它称为二次型(5)的矩阵.因为aijaji，i,j1,2,,n，所以

AA.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.x1x2令X,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，xna11a21xnan1a12a22an2a1nx1a2nx2

annxnXAXx1x2x1x2a11x1a12x2a1nxnaxa22x2a2nxnxn211

axaxaxn22nnnn11aijxixj.i1j1nn故 f(x1,x2,,xn)XAX.·４９· 显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型

f(x1,x2,,xn)XAXXBX

且 AA,BB，则，AB 线性替换的矩阵表示

c11c21令Ccn1c1ny1c22c2ny2,Y,那么，线性替换(4)可以写成，ycn2cnnnc12x1c11x2c21xcnn1c1ny1c22c2ny2

cn2cnnync12或者XCY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 f(x1,x2,,xn)XAX，AA，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换

XCY(8)得到一个y1,y2,,yn的二次型YBY.现在来看矩阵B与矩阵A的关系 把(8)代入(7)有

f(x1,x2,,xn)XAX(CY)A(CY)YCACYY(CAC)YYBY.容易看出，矩阵CAC也是对称的，事实上，(CAC)CACCAC.由此，即得

BCAC.定义2 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使

BCAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有

·５０·(1)反身性 AEAE.(2)对称性 由 BCAC，即得A(C1)B(C1).(3)传递性 由A1C1AC1，A2C2A1C2，即得A2(C1C2)A(C1C2).因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形

一 授课内容：§2 标准形

二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：

I 导入

可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型d1x12d2x2(1)dnxnII 讲授新课

定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.d100d2xn0000dn22=x1d1x12d2x2dnxnx2x1x2.xn反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义 二次型f(x1,x2,,xn)经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f(x1,x2,,xn)的一个标准形.·５１· 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.解：作非退化的线性替换

x1y1y2x2y1y2 xy33则f(x1,x2,x3)2(y1y2)(y1y2)6(y1y2)y32(y1y2)y3

2222y122y24y1y38y2y32(y1y3)22y32y28y2y3

z1y1y3y1z1z3再令 z2y2或y2z2

yzzy3333222则f(x1,x2,x3)2z122z2.8z2z32z32z122(z22z3)26z3w1z1z1w1最后令 w2z22z3或z2w22w3

wzzw333322则 f(x1,x2,x3)2w122w2 6w3是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，3w1x1110101100w111x2110010012w2011w2.x001001001w00133w3用矩阵的方法来解 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.101解：f(x1,x2,x3)的矩阵为A103.130

·５２·110C110取1,则A1C1AC1

001111020211001110103110024.001130001240101再取C2010，则A2C2A1C2

001021012001002010024010024.101240001042100再取C3012，则A3C3A2C3

001010010020010024012 021042001A3是对角矩阵，因此令

311010110011CC1C2C3110010012111，001001001001就有

200CAC020.006作非退化的线性替换

XCY

即得

22.f(x1,x2,x3)2y122y26y3

·５３·

§3 唯一性

一 授课内容：§3 唯一性

二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：

在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3经过非退化的线性替换

3w1x111x0112w2 x0013w3得到标准形

22.2w122w26w3而经过非退化的线性替换

x1x2x3112112001y11y2 31y33就得到另一个标准形

1222y2y3.23这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作

2y12

·５４·的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，f(x1,x2,,xn)变为标准形，不妨设标准形为

2d1y12d2y2dryr2，di0，i1,2,,r(1)易知，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr(2)dryr1zr1ynzn(1)就变为z12z2zr2(3)(3)称为复二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为

11

00的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.·５５· 对于实数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f(x1,x2,,xn)变为标准形，d1y12dpy2dryr2(4)pdp1yp1di0 i1,2,,r，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr (5)dryr1zr1ynzn(4)就变为z12z2pzp1zr(6)(6)称为实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被r,p这两个数所决定.定理4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为f(x1,x2,,xn)的正惯性指数，负平方项的个数rp称为f(x1,x2,,xn)的负惯性指数，它们的差p(rp)2pr称为f(x1,x2,,xn)的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.·５６·

§4 正定二次型

一 授课内容：§4 正定二次型

二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.四 教学难点：判别方法 五 教学过程：

定义4 实二次型f(x1,x2,,xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn都有f(c1,c2,,cn)0.显然，二次型f(x1,x2,,xn)x12xn2是正定的，因为只有在c1c2cn0时，c12cn才为零.一般的，实二次型f(x1,x2,,xn)d1x12d2x2dnxn是正定的，当且仅当di0 i1,2,,n.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n元实二次型f(x1,x2,,xn)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理5说明，正定二次型f(x1,x2,,xn)的规范形为y12yn(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的，·５７· 当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式

a11Pia21ai1a12a1ia22a2i(i1,2,,n)

ai2aii称为矩阵A(aij)nn的顺序主子式.定理6 实二次型

f(x1,x2,,xn)aijxixjXAX

i1j1nn是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.例 判断二次型

22f(x1,x2,x3)5x12x2x34x1x28x1x34x2x3

是否正定.解：f(x1,x2,x3)的矩阵为

245212 425它的顺序主子式

52452120 50，0，221425因之，f(x1,x2,x3)正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设f(x1,x2,,xn)是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn，如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为负定的；如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半正定的；

·５８·如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么f(x1,x2,,xn)就称为不定的.对于半正定，我们有

定理7 对于实二次型f(x1,x2,,xn)XAX，其中A是实对称的，下面条件等价：

(1)f(x1,x2,,xn)是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C，使

d1d2CAC，其中，di0 i1,2,,n.dn(4)有实矩阵C使ACC.(5)A的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，f(x1,x2)xx12200x1x201x 就是一个反例.2

·５９·

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