高等代数北大版教案第6章线性空间_北大版高等代数教案

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第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义.三 教学重点:集合映射的有关定义.四 教学难点:集合映射的有关定义.五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作AB；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做AB；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做AB.定义:(集合的映射)设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:AB,af(a).如果f(a)bB,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即f(A)f(a)|aA.若aa'A,都有f(a)f(a'), 则称f为单射.若 bB,都存在aA,使得f(a)b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域K上n个数a1,a2,,an,我们使用如下记号:

·６０·a1a2anai, a1a2anai.i1i1nn当然也可以写成a1a2an(2)求和号的性质 容易证明,1inai, a1a2an1inai.aiai,(aibi)aibi,aijaij.i1i1i1i1i1nnnnnnmmni1j1j1i1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

a11a21an1a12a22an2a1ma2m

anm分别先按行和列求和,再求总和即可.§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质.三 教学重点：线性空间的定义与简单性质.四 教学难点：线性空间的定义与简单性质.五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间)设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(VVV),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量

·６１· 乘法“”(KVV),且“+”与“”满足如下性质:

1、加法交换律 ,V,有；

2、加法结合律 ,,V,有()()；

3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0；

4、存在负元,即V,存在V,使得0；

5、“1律” 1；

6、数乘结合律 k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)；

7、分配律 k,lK,V,都有(kl)kl；

8、分配律 kK,,V,都有k()kk, 则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义,不光与集合V有关.(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'；

V,设,'都是的负向量,则

0(')'()0, 于是命题得证.由于负向量唯一,我们用代表的负向量.定义4.2(减法)我们定义二元运算减法“-”如下:

定义为().命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、加法满足消去律 ；

2、可移项 ；

3、可以消因子 k且k0,则1； k4、00, k00,(1).(3)线性空间的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K,V中加法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义4.3(线性组合)给定V内一个向量组1,2,,s,又给定数域K内s个数k1,k2,,ks,称k11k22kss为向量组1,2,,s的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组1,2,,s,设是V内的一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,,ks,使得k11k22kss,则称向量可以被向量组1,2,,s线性表出.定义4.5(向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组1,2,,s,如果对V内某一个向量,存在数域K内不全为零的数k1,k2,,ks,使得k11k22kss0,则称向量组1,2,,s线性相关；若由方程k11k22kss0必定推出k1k2ks0,则称向量组1,2,,s线性无关.命题4.3 设1,2,sV,则下述两条等价: 1)1,2,s线性相关； 2)某个i可被其余向量线性表示.证明同向量空间.定义4.6(线性等价)给定V内两个向量组

1,2,,r(Ⅰ), 1,2,,s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义4.7(极大线性无关部分组)给定V内一个向量组1,2,,s,如

·６３· 果它有一个部分组i1,i2,,ir满足如下条件:(i)、i1,i2,,ir线性无关；

(ii)、原向量组中任一向量都能被i1,i2,,ir线性表示, 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.定义4.8(向量组的秩)一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2 求证:向量组e1x,e2x的秩等于2(其中12).证明:方法一:设k1,k2∈R,满足k1e1xk2e2x0,则k1e1xk2e2x,假若k1,k2不全为零,不妨设k10,则有e(12)xk2,而由于12,等号左k1边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是k1k20.所以e1x,e2x线性无关,向量组的秩等于2.证毕.方法二:若在(a,b)上k1e1xk2e2x0, 两端求导数,得k11e1xk22e2x0,cck1e1k2e20,以xc(a,b)代入,有 1c2ck11ek22e0.而e1ce2c1e2c2e2ce(12)c(21)0, 于是k1k20.证毕.·６４·§3 维数、基与坐标

一 授课内容:§3 维数、基与坐标

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质.三 教学重点:基与维数、向量坐标的有关定义.四 教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五 教学过程: 1.线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间,则有: 定义4.9(基和维数)如果在V中存在n个向量1,2,,n,满足: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量在K上可表成1,2,,n的线性组合, 则称1,2,,n为V的一组基.基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维数.命题4.4 设V是数域K上的n维线性空间,而1,2,,nV.若V中任一向量皆可被1,2,,n线性表出,则1,2,,n是V的一组基.证明:由1,2,,n与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.命题4.5 设V为K上的n维线性空间,1,2,,nV,则下述两条等价: 1)1,2,,n线性无关；

2)V中任一向量可被1,2,,n线性表出.定义4.10(向量的坐标)设V为K上的n维线性空间,1,2,,n是它的一组基.任给V,由命题4.4,可唯一表示为1,2,,n的线性组合,即!aiK,(i1,2,,n),使得a11a22ann,于是我们称a1,a2,,an为在基1,2,,n下的坐标.易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系.·６５· §4 基变换与坐标变换

一 授课内容:§4 基变换与坐标变换

二 教学目的:通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.三 教学重点:基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式.四 教学难点:坐标变换公式的应用.五 教学过程: 1.线性空间的基变换,基的过渡矩阵

设V/K是n维线性空间,设1,2,,n和1,2,,n是两组基,且

1t111t212tn1n,ttt,2121222n2n nt1n1t2n2tnnn.将其写成矩阵形式

t11t12t1nttt2n(1,2,,n)(1,2,,n)2122.tttnnn1n2定义4.11 我们称矩阵

t11t12t1nttt2nT2122 tttnnn1n2为从1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵.命题4.6 设在n维线性空间V/K中给定一组基1,2,,n.T是K上一个n阶方阵.命

(1,2,,n)(1,2,,n)T.·６６·则有1,2,,n是V/K的一组基,当且仅当T可逆.证明:若1,2,,n是线性空间V/K的一组基,则1,2,,n线性无关.考察同构映射:VKn,在1,2,,n下的坐标,构造方程

k1(1)k2(2)kn(n)0, 其中kiK,(i1,2,,n), (k11k22knn)0k11k22knn0, k1k2kn0(1),(2),,(n)线性无关.(1),(2),,(n)构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；

反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程

k11k22knn0,其中kiK,(i1,2,,n), 两边用作用,得到k1(1)k2(2)kn(n)0, k1k2kn0.证毕.2.向量的坐标变换公式；Kn中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式

设V/K有两组基为1,2,,n和1,2,,n,又设在1,2,,n下的坐标为a1,a2,,an,即

a1a(1,2,,n)2,an在1,2,,n下的坐标为(b1,b2,,bn),即

b1b(1,2,,n)2.bn现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即(1,2,,n)(1,2,,n)T.记

·６７·

a1b1ab22X,Y, abnn于是

(1,2,,n)X(1,2,,n)Y[(1,2,,n)T]Y(1,2,,n)(TY).于是,由坐标的唯一性,可以知道XTY,这就是坐标变换公式.(2)Kn中两组基的过渡矩阵的求法 我们设Kn中两组基分别为

1(a11,a12,,a1n),2(a21,a22,,a2n),n(an1,an2,,ann).和

1(b11,b12,,b1n),2(b21,b22,,b2n),n(bn1,bn2,,bnn).而(1,2,,n)(1,2,,n)T.按定义,T的第i个列向量分别是i在基1,2,,n下的坐标.将1,2,,n和1,2,,n看作列向量分别排成矩阵

a11a21Aan1a12a1nb11b12b1na22a2nbbb21222n；B,ban2annbbnnn1n2则有BAT,将A和B拼成n2n分块矩阵A|B,利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:(A|B)行初等变换(E|T).·６８·

§5 线性子空间

一 授课内容:§5 线性子空间

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理.三 教学重点:线性子空间的定义、判别定理.四 教学难点:线性子空间的判别定理.五 教学过程: 1.线性空间的子空间的定义

定义4.12(子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个非空子集.如果M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性空间,则称为V的一个子空间.命题4.7 设V是K上的线性空间,又设一个非空集合WV,则W是子空间当且仅当下述两条成立: i)W对减法封闭； ii)W对于K中元素作数乘封闭.证明:必要性由定义直接得出；

充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.只需要证明0W且对于任意W,W,且对加法封闭即可.事实上,由于W关于数乘封闭,则00W；(1)W,于是对于,W,()W,W关于加法封闭.于是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题4.8 设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充为V的一组基.证明:设dimVn,dimWr,(rn),若rn,则命题为真； 若rn,对nr作归纳:设1,2,,r为W的一组基,取r1VW,则1,2,,r,r1线性无关.于是令W'{kr1|W,kK},易见,W’是V的一个子空间,且dimW'r1,此时ndimW'nr1,对其用归纳假设即可.·６９· §6 子空间的交与和

一 授课内容:§6子空间的交与和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式.三 教学重点:子空间的交与和的定义及维数公式.四 教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式..五 教学过程: 1.子空间的交与和,生成元集 定义4.13 设1,2,,tV,则

k11k22ktt|kiK,i1,2,,t

是V的一个子空间,称为由1,2,,t生成的子空间,记为L(1,2,,t).易见,生成的子空间的维数等于1,2,,t的秩.定义4.14(子空间的交与和)设V1,V2为线性空间V/K的子空间,定义

V1V2{vV1且vV2},称为子空间的交； V1V2{v1v2|v1V1,v2V2},称为子空间的和.命题4.9 V1V2和V1V2都是V的子空间.证明:由命题4.7,只需要证明V1V2和V1V2关于加法与数乘封闭即可.事实上,,V1V2,则,V1,,V2.由于V1,V2均是V的子空间,则V1,V2,于是V1V2,V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,kvV1,kvV2,于是kvV1V2,V1V2关于数乘封闭.,V1V2,则由V1V2的定义,1,1V1,2,2V2,使得,121,2而11V1,22V2,则

(12)(12)(11)(22)V1V2, V1V2关于加法封闭；V1V2,kK,1V1,2V2,使得12,由于k1V1,k2V2,则kk(12)k1k2V1V2,V1V2关于

·７０·数乘封闭.证毕.命题4.10 设V1,V2,,Vm是V的子空间,则V1V2Vm和V1V2Vm均为V的子空间.2.维数公式.定理4.1 设V为有限维线性空间,V1,V2为子空间,则

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2).这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设dimV1s,dimV2t,dim(V1V2)n,dim(V1V2)r,取V1V2的一组基1,2,,r(若V1V2=0,则r0,基为空集),将此基分别扩充为V1,V2的基

1,2,,r,1,2,,sr, 1,2,,r,1,2,,tr, 只需要证明1,2,,r,1,2,,sr,1,2，tr是V1V2的一组基即可.首先,易见V1V2中的任一向量都可以被1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性表出.事实上,V1V2,则12,其中1V1,2V2,而

1k11k22krrkr11kr22kssr,2l11l22lrrlr11lr22lttr.ki,ljK 于是12可被1,2,,r,1,2,,lr,1,2，tr线性表出.只要再证明向量组1,2,,r,1,2,,lr,1,2,,tr线性无关即可.设k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr0, 其中ki,aj,bhK.则

k11k22krra11a22asrsrb11b22btrtr(*)于是

k11k22krra11a22asrsrV1, b11b22btrtrV2,·７１· 于是k11k22krra11a22asrsrV1V2,记为.则可被1,2,,r线性表示,设

h11h22hrr, 代入(*),有

h11h22hrrb11b22btrtr0, 由于1,2,,r,1,2,,tr是V2的一组基,所以线性无关,则

h1h2hrb1b2btr0, 代回(*),又有k1k2kra1a2asr0, 于是向量组1,2,,r,1,2,,sr,1,2,,tr线性无关.证毕.推论2.1 设V1,V2,,Vt都是有限为线性空间V的子空间,则: dim(V1V2Vt)dimV1dimV2dimVt.证明:对t作归纳.§7 子空间的直和

一 授课内容:§7 子空间的直和

二 教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质.三 教学重点:子空间的直和的四个等价定义.四 教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五 教学过程: 1.子空间的直和与直和的四个等价定义

定义 设V是数域K上的线性空间,V1,V2,,Vm是V的有限为子空间.若对于Vi中任一向量,表达式

i1m12m,iVi,i1,2,,m.·７２·是唯一的,则称Vi为直和,记为

i1mV1V2Vm或Vi.i1m定理 设V1,V2,,Vm为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等价: 1)V1V2Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

ˆV){0},i1,2,,m； 3)Vi(V1Vim4)dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.证明: 1)2)显然.2)1)设12m12m,则

(11)(22)(mm)0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

ii,i1,2,,m, 即的表示法唯一.由直和的定义可知,V1V2Vm是直和.ˆV){0},2)3)假若存在某个i,1im,使得Vi(V1VimˆV),于是存在V,使得 则存在向量0且Vi(V1Vjjimˆim.1由线性空间的定义,ˆV), Vi(V1Vim则1()m()0,与零向量的表示法唯一矛盾,于是

ˆV){0},i1,2,,m.Vi(V1Vim3)2)若2)不真,则有

01im, 其中jVj(j1,2,,m)且i0.于是

ˆV), ˆimVi(V1Vi1im

·７３· 与3)矛盾,于是2)成立.3)4)对m作归纳.①m=2时,由维数公式得到

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2)dimV1dimV2.②设m1(m3)已证,则对于m, dim(V1V2Vm)dimVmdim(V1V2Vm1)dim(Vm(V1V2Vm1))dimVmdim(V1V2Vm1),而i,1im1,都有

垐Vi(V1ViVm1)Vi(V1ViVm){0}；

由归纳假设,可以得到dim(V1V2Vm)dimV1dimV2dimVm.4)3)i,1im,都有

垐dim(Vi(V1ViVm))dim(Vi)dim(V1ViVm)dim(V1V2Vm)0, ˆV){0},i1,2,,m.证毕.于是Vi(V1Vim推论 设V1,V2为V的有限维子空间,则下述四条等价: i)V1V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1V2{0}；

iv)dim(V1V2)dimV1dimV2.2.直和因子的基与直和的基

命题 设VV1V2Vm,则V1,V2,,Vm的基的并集为V的一组基.证明: 设i1,i2,,ir是Vi的一组基,则V中任一向量可被

i{i1mi1,i2,,ir}线性表出.又dimVdimVir1r2rm,由命题4.5,imi1它们线性无关,于是它们是V的一组基.证毕.3.补空间的定义及存在性

定义 设V1为V的子空间,若子空间V2满足VV1V2,则称为V1的补

·７４·空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设V1为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取V1的一组基1,2,,r,将其扩为V的一组基1,2,,r,r1,r2,,n取V2L(r1,r2,,n),则有

VV1V2,且dimV1dimV2ndim(V1V2), 于是VV1V2,即V2是V1的补空间.证毕.§8 线性空间的同构

一 授课内容:§1线性空间的同构

二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定.三 教学重点:线性空间同构的判定.四 教学难点:线性空间同构的判定.五 教学过程: 1.线性映射的定义

定义 设U,V为数域K上的线性空间,:UV为映射,且满足以下两个条件: i)()()(),(,U)； ii)(k)k(),(U,kK), 则称为(由U到V的)线性映射.由数域K上的线性空间U到V的线性映射的全体记为HomK(U,V),或简记为Hom(U,V).定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替: (kl)k()k(),(,U,k,lK).·７５· 例 Mmn(K)是K上的线性空间,Msn(K)也是K上线性空间,取定一个K上的sm矩阵A,定义映射

:Mmn(K)Msn(K),xAX.则是由Mmn(K)到Msn(K)的线性映射.例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令

UL(1,sinx,sin2x,,sinnx), VL(1,cosx,cos2x,,cosnx).再令

:则是由U到V的一个线性映射.定义 设:UV是线性映射

UV,f(x)AX.i)如果是单射,则称是单线性映射(monomorphism)； ii)如果是满射,则称是满线性映射(endmorphism)；

iii)如果既单且满,则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U与V是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；

iv)的核(kernel)定义为ker{U|()0}；

v)的像(image)定义为im={V|U,s.t()},也记为(U)；

命题 ker和im是V的子空间.证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi)的余核定义为cokerV/im.命题 线性映射f是单的当且仅当kerf{0},f是满的当且仅当cokerf{0}.定理(同态基本定理)设f:UV是数域K上的线性空间的满线性

·７６·映射,则映射

:U/kerfV,kerff().是同构映射.证明:首先证明是映射,即若'U/kerf,则()(').由于',存在kerf,使得'.于是

f()f(')f(')f()f('),即()(').再证明是线性映射.,U/ker,k,lK,有

(kl)f(kl)kf()lf()k()l().易见是满射,且有Vimf.只要再证明是单射即可,即证明.设ker,则()f()0,于是kerf,即有0.ker{0}证毕.命题 设:UV是线性映射,dimUn,则下述三条等价: i)单；

ii)将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组； iii)dim(U)n.证明:i)ii)若1,2,,tV线性无关,则令

k1(1)k2(2)kt(t)0, 由线性映射的定义,(k11k22ktt)0.单,于是k11k22ktt0,则k1k2kt0,ii)成立；

ii)iii)若取U的一组基1,2,,n,则由已知, (1),(2),,(n)线性无关,而im中任意向量可以被(1),(2),,(n)线性表出,于是(1),(2),,(n)构成im的一组基,iii)成立；

iii)i)由同态基本定理知U/kerim,于是diUmdimkerdimke,r即有ker{0}.证毕.·７７·

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