高中数学教学论文 不等式证明中的构造函数策略_构造函数法证明不等式

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不等式证明中的构造函数策略

有些不等式证明问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，则可以顺利得到证明。把握这种构造函数的证题策略，有利于证明一些用常规方法难以证明的命题.一、构造一次函数证明不等式

例1.设0

证明：设f(x)=x(1－y)+y(1－z)+z(1－x)

=(1－y－z)x+(y+z－yz)（0

1∴f(0)= y + z－yz =1－(1－y)(1－z)

1a

例2.若0

1b，求证：b－b2

1a1

1a1

.分析：结论即b2－b+>0，可将左式

1a

看成是以b为主元的二次函数（其中0

证明：令b=x，由0

1b），得x=b∈(0，1a1).构造二次函数f(x)=x2－x+

1a，x∈

(0，).其对称轴为x=

1a

21a

⑴当≤

12，即a≥2时，f(x)在(0)

上单调递减.于是

f(x)>f（1a

1a12)=

1a

2

1a



1a1



1a(a1)

>0

⑵当>，即0

f(x)> f（f(1)= 1－yz

即x(1－y)+ y(1－z)+ z(1－x)

定轴x=

f(x)

⑵本题也可就1－y－z在（－1，1）内的不同情况分类说明.二、构造二次函数证明不等式

1a

1)=

1a11a

－

4>0

综上，当x∈(0，)时，f(x)= x2－x +

1a1

>0恒成立,即不等式b－b2

1、本题旨在构造二次函数，并对

2与动区间（0，1a）间的不同位置情

况分类讨论。

2、本题也可将结论转化为(b－b2)a +(b

用心爱心专心

1－b2)－1

1b），把左式看作是以a为

分析：分析条件和结论的形式特征及其内在联系，联想到正、余函数的性质和相关公式，可构造三角函数来转化并证明结论.证明：由题意，构造函数x = f(θ)=cosθ，于是x1=cosθ1，x2=cosθ2.主元的一次函数，再予以证明.三、构造分式函数证明不等式

例3.设a、b、c∈R+，且a+b>c，求证

a1a



b1b



c1c

.∴x1x2 +(1x12)(1x2)

分析：不等式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造分式函数f(x)= 行证明.证明：构造函数f(x)=

x1x

x1x

进

=cosθ1cosθ2+(1cos21)(1cos22)=cosθ1cosθ2 +|sinθ1sinθ2|

= 1－

11x

=cosθ1cosθ2±sinθ1sinθ2 =cos(θ1±θ2)≤

1即 x1x2 +(1x12)(1x2)≤1

（x∈R+），易证函数f(x)在其定义域R+上是单调递增函数.∵a+b>c>0，∴f(a+b)> f(c)，即 又 故

ab1aba1aa1a

b1bb1b

c1ca1ab

c1c

评注：对于和三角有一定联系或结构上有相似之处的不等式证明问题，根据题目的特

点，合理构造三角函数，利用三角公式和性质



a1ab

ab1ab

进行证明，不失为处理问题的一条捷径.在不等式证明中，通过构造函数模型来探求证题思路是优化思维品质的有效途径，也是解题者认识问题本质的具体体现..评注：函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果.四、构造三角函数证明不等式

例4.已知集合M={x | |x|≤1}，x1、x2

∈M，求证x1x2 +(1x1)(1x2)≤1.用心爱心专心 2

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