高考总复习《走向清华北大》精品25_高考生物复习精品

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第二十五讲 平面向量的数量积

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为()

A．－2B．2

C．－12D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．

∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A

2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有（A．a⊥bB．a∥b

C．|a|＝|b|D．|a|≠|b|

解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．

而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A

3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是()

A．(1，＋∞)B．(－1,1)

C．(－1，＋∞)D．(－∞，1)

解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝λ－12，又∵|a|＝1＋12，)

λ－12λ－1∴a·b＝|a|＝×2＝λ－1>－1，22

∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C

154．已知△ABC中，ABa,ACb, a·b

|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()

A．30°

C．150°B．－150° D．30°或150°

115解析：∵S△ABC＝a||b|sin∠BAC＝ 24

1∴sin∠BAC 2

又a·b

∴∠BAC＝150°.答案：C

5．(精选考题·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设OAa,OBb,则△OAB的面积

等于()|a||b|－(a·b)|a||b|＋(a·b)1|a||b|－(a·b)2

1|a||b|＋(a·b)2

解析：cos〈a，b〉＝a·b |a|·|b|

a·b21－|b|，|a|·sin∠AOB1－cos〈a，b〉＝

1所以S△OAB＝|a||b| 2

sin∠AOB答案：C 1|a||b|－(a·b).2

6．(精选考题·湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则ABAC等于()

A．－16

C．8B．－8 D．16

AC解析：解法一：因为cosA＝AB，故ABAC|AB||AC|cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：AB在AC上的投影为|AB|cosA＝|AC|，故ABAC|AC||AB|cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(精选考题·江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．

解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：1

8．(精选考题·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|＋4α·β＋|β|＝4＋2＋4＝10.10

9．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.答案：2

10．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA(OBOC)的最小

值是________．

解析：令|OM|＝x且0≤x≤2，则|OA|＝2－x.OA(OBOC)OA2OM＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴OA(OBOC)的最小值为－2.答案：－2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．

解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝|a||b|cos45°＝2×1×2＝1.2

而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，(2a＋λb)·(λa－3b)则cosθ＝>0，且cosθ≠1，|2a＋λb||λa－3b|

∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ

假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，2＝kλ，2∴解得k2＝－.3λ＝－3k，

故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．

所以当λ>2或λ

a·b评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθθ|a||b|

分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ0且cosθ≠1，θ为锐角．

3112．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．

13解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－4＋4＝0，故a＋b与a

－b垂直．

(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－3a·b＋3|b|2，1－·所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则cosα＋·sinα＝0，22

即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α

πθ，sinπ－θ，cos13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝22

(1)求证：a⊥b；

(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2的最小值． t

π解：(1)证明：∵a·b＝cos(－θ)·cos2－θ＋ πsin(－θ)·sin2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.(2)由x⊥y，得x·y＝0，即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t，k＋t2t3

∴t＋t2＋3ttt2＋t＋3

＝t＋122＋114.故当t＝－1k＋t2112时，t有最小值4.

高考总复习《走向清华北大》精品21

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