空间向量在立体几何中的应用_立体几何中的空间向量
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【利用空间向量证明平行、垂直问题】
例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。
（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。
如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。
（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。
∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。
（2）依题意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且
（3）解析：设点F的坐标为又，故，所以PB⊥平面EFD。，则
从而所以
由条件EF⊥PB知，即，解得
∴点F的坐标为，且∴
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。
∵，且
∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。
点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．
（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．
（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例.正方形ABCD—
中，E、F分别是，的中点，求：
（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得
又，∴，即所求值为。
（2）∵
∴
∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵
∴
又∴
∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成的角（2）直线与平面所成的角
求得，即
求得，即。
或
可以借助这两条直线的方向向量的夹角
主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角
（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例.长方体ABCD—求：
（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：
如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
方法二：，∴
故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为
（2）∵，∴上的射影的模
故M到PQ的距离为（3）设
是平面的某一法向量，则，∵因此可取，由于
∴，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。
点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。
（1）平面的法向量的求法：设联立后取其一组解。，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。
（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。
②设或其补角。
分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角
（4）异面直线间距离的求法：
是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是
上的任意
两点，则。
（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。
（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。
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