05061线代(B类)及答案_线代b答案

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线 性 代 数(B)试 卷----A卷

一、单项选择题（每题3分，共15分）

2，，s(s2)线性无关，2，，s线性表示，1.向量组1，且可由向量组1，则以下结论中不能成立的是

2，，s线性无关；(A)向量组1，2，，s线性相关；(B)对任一个j(0js)，向量组j，2，，s线性无关；(C)存在一个j(0js)，向量组j，2，，s与向量组1，2，，s等价。(D)向量组1，a



2.设三阶矩阵Ab

b

bab

b

b，已知伴随矩阵A的秩为1，则必有a

(A)ab且a2b0；(B)ab且a2b0；(C)a＝b或a2b0；(D)ab或a2b0。3.设是n维非零实列向量,矩阵AET,n3，则___________

(A)A至少有n－1个特征值为1；(B)A只有1个特征值为1；

(C)A恰有n1个特征值为1；(D)A没有1个特征值为1。4.设A,B为n阶方阵，且r(A)r(B)，则______________

(A)r(AB)0；(B)r(AB)2r(A)；(C)r(A，B)2r(A)；(D)r(A，B)r(A)r(B)。5.设A为mn实矩阵，r(A)n，则

(A)ATA 必合同于n阶单位矩阵；(B)AAT 必等价于m阶单位矩阵；

(C)ATA 必相似于n阶单位矩阵；(D)AAT 是m阶单位矩阵。

二、填空题（每题3分，共15分）

1．已知A，B为n阶方阵，1不是B的特征值，且ABABE，则A1

(A卷)

2.若三阶方阵A有特征值 1,1,2，则行列式A12A。3．已知实二次型f(x1,x2,x3)x124x222x322ax1x22x2x3正定,则常数a的取值范围为________________。

2，，n是A的列向量组，行列式|A|0，其伴随 4.已知A为n阶方阵，1，矩阵A0，则齐次线性方程组Ax0的通解为。5.设A为n阶实矩阵，且ATA1，|A|0，则行列式 |AE|。

三、计算题(每题9分,共54分)

x1x22x30



1．线性方程组为 2x1x2ax31，问a,b各取何值时，线性方程组无解，3x2x4xb

231

有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

2．设3阶方阵A，B，C满足方程 C(2AB)A，试求矩阵A，其中

1

B0

0

210

OB

312，C0

01

AO

210

4



2。1

|B|3．计算行列式|A|，其中

nx1

n0，B

n0

n0

0200



00n10

0

0 0n

11A

1

1x

222x2



n1(n1)x

n1n1

4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x32x3x1，求正交变换xQy, 化f(x1,x2,x3)为标准形，并写出正交变换xQy

TT

1，0),2(1，0，1),是 5.已知A为三阶实对称矩阵，秩r(A)2,1(0，A

对应特征值123的特征向量，试求：

（1）A的另一个特征值3及其特征向量3；（2）矩阵A，矩阵An。

6.设R3的两个基1

11，0

21，1

212；10，20

11

1，3101

（1）求由基 1,2,3到1,2,3的过渡矩阵P；

（2）已知向量123，求向量在基 1,2,3 下的坐标；(3)求在基1,2,3和1,2,3下有相同坐标的所有向量。

四、证明题(每题8分,共16分)

1．设A为mn矩阵，证明：存在ns非零矩阵B，使ABO的充分必要

条件为秩r(A)n。

2.设A，B是n阶实矩阵,A的特征值互异。证明:矩阵ABBA的充分必要条件为A的特征向量都是B的特征向量。

线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案

一、选择题

1.(B)2.(B)3.(C)4.(D)5.(A)

二、填空题

1.(BE)(BE)1；2.n1

1252

；3.|a|

7/2；

4.k

i

i1

ji

2，，，ji，i1，2，，n－1是1，n的极大线性无关组；

5.|AE|0

三、计算题

1

A1.2

3

112

2a4

0110

0b

24a2a

0

1 b1

当a2时，方程组有唯一解

当a2，b1时，方程组无解

当a2，b1时，r(A)r(A)＝2

(1,1,0)Tk(0,2,1)T，k为任意常数。

2.(2CE)ACB，A(2CE)1(CB)

1

A0

0

410

841

1

1

00

010

3100

10

410

11

41

n(n1)

3.|A|(1)

OB

AO

（n(n1)

n(n1)

x)x

n1，|B|n!，(1)

n

（n(n1)2

x)n!x

n1。

0



4.f的矩阵A1

1

101

1

1，有特征值 121,320

A对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量

111111

111

20，111，31；2 31，1，1

263101021111

xyyy3

121

263

111

y1y2y3于是正交变换xQy即x2263

21

x3y2y363

化二次型为标准形fy12y222y32。

5．（1）因为r(A)2,|A|0，所以30；设A0，由与1，2正交，得 ＝k(1,0,1)T（2）设P(1,2,3)，则

3

AP0

0

030

03110P0

203

060

3

03

An

3n

P0

0

03

n

3n0

11

0P0

2n

03

0230

n

n

3

0n3。

6.(1)设 A(1,2,3),B(1,2,3),(1,2,3)(1,2,3)P

0

PA1B1

1/2

0

01/2

(2)1233，坐标 x(1,1,3)T（3）设(1,2,3)x(1,2,3)x

0

则((1,2,3)(1,2,3))x1

0

1

1x0 1

解得x(1,1,1)T，故123k(1,0,1)T。

四、证明题

2，s都是线性方程组Ax0的解。故（1，2，，s）1．设B，则j,j1，ABO

方程组Ax0有非零解r(A)n。

2．必要性： 设A，则当B0时，由A(B)B(A)(B)，知,B都是A对应特征值的特征向量，是A的一重特征值，,B线性相关。因此，存在常数，使B，是B的对应特征值的特征向量。

当B0时，是对应B的特征值0的特征向量。故A的特征向量都是B的特征向量。

充分性：A的特征值互异，相似于对角阵，即存在可逆阵P(1,2,,n)，1

AP使



1

P。n



1

P。n



1



A的特征向量都是B的特征向量，故BP





因为

1

ABP

11

BAP



11PP

n



11

1PP

n





1

P，nn





1

P，

所以ABBA。

nn

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