546教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程_圆锥曲线中点弦问题

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教学一得：如何求圆锥曲线中点弦的轨迹方程

冰儿

求曲线的轨迹方程时，要仔细审题，寻找和确定求解途径，分清解题步骤，逐步推演，综合陈述完整作答，但求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是代数方法研究几何问题的基础，也是高考的一个热点问题。这类问题题把基础知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。有关弦中点问题，主要有以下三种类型：过定点的弦中点轨迹；平行弦的中点轨迹；过定点且被定点平分的弦。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法等，现具体介绍以上几种弦中点轨迹方程的求法。

一、求圆锥曲线过定点的动弦的轨迹方程。其求法：

（1）用直线的点斜式，当斜率存在时，设它的方程为y=k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韦达定理得x1+x2=f(k)。设中点M(x,y)，则xyy01f(k),将k代入上式得G(x,y)=0。2xx0当P在圆锥曲线外部时，再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0。求中点M的坐标x,y的取值范围。最后检验斜率不存在时x=x0与圆锥曲线的弦AB中点M的坐标是否满足G(x,y)=0(2)代点相减法也称“点差法”；

x2y21的左焦点作弦。求弦中点的轨迹方程。例1，过椭圆54精析：由已知能得到什么，与弦中点的轨迹方程如何转化，画出草图进行分析，寻求解答。

方法一：巧解：设过左焦点F（-1，0）的弦与椭圆相交于A、B两点。设A（x1,y1），B（x2,y2）,xyxy弦中点为M（x,y）,则111 ① 221 ②

54542222由①-②整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0 又因为x1+x2=2x.y1+y2=2y 所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0 当x1≠x2时 kABy1y28x4x ③

x1x210y5y由题意知 kABy1y2y ④ x1x2x11由③、④整理得 4(x)25y21

2当x1=x2时M(-1,0)满足上式。

方法二：椭圆的左焦点为F（-1，0），设焦点弦所在的直线方程为

y=k(x+1)代入椭圆方程并整理得(45k2)x210k2x5k2200 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),则 x1x210k 245k

所以 xx1x25k4x2 将代入y=k(x+1)得； k25(1x)45k24y2k2(x1)2x(x1)

5当k不存在时，弦中点为（-1，0）满足上述方程

1即 4(x)25y21为所求的轨迹方程

2二、求圆锥曲线中斜率为定值的平行弦中点的轨迹方程；

①利用直线的斜截式方程：设平行弦所在的方程为y=kx+m(m为参数)代入F(x,y)=0中。

f(k,m)利用韦达定理得x1+x2=f(k,m)，设中点M(x,y),则x,y =kx+m,从中消去M，可得G

2（x,y）=0,再由直线与圆锥曲线相交的条件△>0.得M的坐标x，y的取值范围。

②代点相减法；

例

2、求y22px(p0)的斜率为k的平行弦中点M的轨迹方程。

解：设平行弦所在的直线方程为y=kx+m（m为参数）代入y22px，整理得 k2x22(kmp)xm20 当2(kmp)4k2m20 ① 2 即2km

设两个交点A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中点M(x,y)

xx2kmpppx12yx则 消去m，得 又由①式及x的代数式得 2k2k2kykxm故动点的轨迹方程为ypp(x2)k2k方法二：设动弦与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，弦中点M(x,y)

2则 y122px1 ① y22px2 ②

由①－②，整理得 y1y2p

x1x2yp 22k又点M(x,y)在抛物线内部，所以y22px 即x所以所求轨迹方程为ypp(x2)k2k注意：在使用代点相减法时，应该注意中点在圆锥曲线内部的条件，否则会增解。

三、长为定值的圆锥曲线动弦中点的轨迹方程

求长为定值的弦中点的轨迹方程的方法为：设中点坐标M(x0,y0),弦与圆锥曲线的两个交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代点相减法用x0,y0表示kAB。写出直线AB的点斜式方程，代入圆锥曲线方程，用弦长公式求解。

例

3、定长为2l(l1)的线段AB。其两端点在抛物线x2y上移动。求线段中点M的轨2迹方程。

解：设中点M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，则

2y2 ② x12y1 ① x2由①－②得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由题意得x1≠x2。∴y1y22x0

x1x22∴直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)代入yx2得 ；x22x0x2x0y00

由弦长公式及韦达定理得 AB1k2x1x2 x1+x2=2x0 x1x2=2x02-y0

2(x1x2)24x1x2 又∵∣AB∣=2l ∴2l14x02即(y0x0)2(14x0)l2

∴AB中点的轨迹方程为(yx2)(14x2)l2

四、变式训练: x2y21，求满足条件的轨迹方程；

1、已知2（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过点A（2，1）的直线与椭圆相交，求直线l被截得弦的中点轨迹方程；

11（3）求过点p(,)且被P平分的弦所在直线方程；

22x2y21 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0 解：（1）设斜率为2的直线方程为y=2x+b代入2设平行弦的端点坐标为(x1,y1)，（x2,y2）,则

△ =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)＞0 得-3＜b＜3 则 x1x2xx28b94444b ∴bx,(b)x19439329 yy1y244b(x1x2)b ∴x4y0,(x)

3329（2）设l与椭圆的焦点为（x1,y1）(x2,y2),弦中点为（x,y）

2x12x222y11 ① y21 ② 则 22由①-②整理得（x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 又∵ x1x22x,y1y22y

∴x2yy1y20 ④

x1x2y1y2y1 ⑤ x1x2x2由题意知

y10 即x22y22x2y0 x2(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入①得 代入④整理得x2y y1y21

x1x22故所求的直线方程为2x+4y-3=0 通过以上几例要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，同时注明x,y的取值范围。若轨迹有不同情况，应分类讨论,以保证它的完整性。

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