18 数理方法教学大纲_计算方法教学大纲
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定解问题。定解条件，边界条件，初始条件，泛定方程，定解问题。
§7.1．数学物理方程的导出*。均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动*，均匀薄膜的微小振动*，扩散方程，热传导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场，(其他物理模型的方程的导出不作要求)。
§7.2．定解条件。初始条件，边界条件（非线性边界条件不作要求）。
§7.3．二阶线性偏微分方程的分类。二阶线性偏微分方程的一般形式，线性齐次和非齐次方程，叠加原理。两个自变数的方程分类（多个自变数的方程分类不作要求），双曲型，抛物型，椭圆型方程，方程的标准形式。常系数线性方程。
§7.4．行波法。达朗伯公式，行波，求解公式。端点的反射*（固定端的情形）。定解问题，适定性。本章重点：
定解问题、定解条件提法，弦振动方程、扩散方程及稳定浓度、温度分布方程的导出，二阶线性方程的分类，常系数线性方程的化简，达朗伯公式。
第八章 分离变数（傅里叶级数）法（6+2）基本要求：
1．掌握分离变数法，理解本征值问题与本征函数的联系，会灵活处理较简单的非齐次边界条件的情况；
2．熟悉并掌握齐次泛定方程的定解问题的求解方法； 3．能对简单非齐次泛定方程的定解问题求解。教学内容：
§8.1．齐次方程的分离变数法。分离变数法，驻波，本征值，本征函数，本征值问题，分离变数法的方法步骤。
§8.2．非齐次振动方程和输运方程。傅立叶级数法，冲量定理法。§8.3．非齐次边界条件的处理。一般处理方法，特殊处理方法。§8.4．泊松方程。本章重点：
分离变数法的步骤，本征值问题，非齐次边界条件的处理。
第九章 二阶常微分方程的级数解 本征值问题（4）基本要求：
1．掌握对方程进行分离变数的一般方法，了解一些常见方程进行分离变数后特殊的情形； 2．掌握微分方程在常点邻域的级数解法； 3．了解微分方程在正则奇点邻域的级数解法；
4．了解斯特姆—刘维型本征值问题的提法。了解常见的本征值问题解族的正交性、模和函数族展开理论。教学内容：
§9.1．特殊函数常微分方程。拉普拉斯方程，球坐标，球函数方程，连带勒让得方程*，勒让得方程，柱坐标，贝塞耳方程*。波动方程，输运方程，亥姆霍兹方程。§9.2．常点邻域上的级数解法，微分方程的级数解法
§9.3．正则奇点邻域上的级数解法*，微分方程的级数解法，判定方程，例1．例2（只要求得到正m阶贝塞尔函数的解）。
§9.4．斯特姆—刘维本征值问题*，本征值，本征函数，斯特姆—刘维本征值问题，正交性，模，广义傅立叶级数，广义傅立叶系数。本章重点：
微分方程的级数解法，本征函数族，广义傅立叶级数展开。
第十章 球函数（5+1）基本要求：
1．掌握勒让得多项式概念，勒让得多项式的微分形式，正交关系，模的计算，及其广义傅立叶展开理论及方法；
2．了解一般球函数和连带勒让得函数的概念。教学内容：
§10.1．轴对称球函数。勒让得多项式，洛德利格斯公式（施列夫利积分），勒让得多项式的正交关系，勒让德多项式的模，广义傅立叶级数，母函数与递推公式。
§10.2．连带勒让得函数。连带勒让得函数，本征值问题，洛德利格斯公式，正交性，模，广义傅里叶级数（施列夫利积分，拉普拉斯积分不作要求）。
§10.3．一般的球函数*。球函数，球函数的正交性，球函数的模，球面上的函数的，拉普拉斯方程的非轴对称解。本章重点：
勒让德多项式及其微分形式，勒让德多项式函数族的正交性、模和展开理论。
第十一章 柱函数（4）基本要求：
1．掌握贝塞尔函数级数形式，正交关系，模的计算，及广义傅立叶展开理论及方法； 2．了解其他柱函数的概念和性质。教学内容：
§11.1．三类柱函数，三类柱函数，柱函数的极限行为，递推公式。
§11.2．贝塞尔方程，贝塞尔函数与本征值问题，贝塞尔函数的正交性，贝塞尔函数的模，傅立叶—贝塞尔级数，贝塞尔函数的应用，本章重点：
贝塞尔函数的性质及其应用。
第十二章 格林函数 解的积分公式（3）基本要求：
1．掌握泊松方程的基本积分公式，用电像法求格林函数，泊松积分； 2．了解含时间的格林函数的概念。教学内容：
§12.1．泊松方程的格林函数。第一格林公式，第二格林公式，泊松方程的基本积分公式，泊松方程第一边值问题的格林函数及解的积分表达式，泊松方程第三边值问题的格林函数及解的积分表达式。
§12.2．电像法求格林函数。无界空间的格林函数，基本解，用电像法求格林函数，泊松积分。
§12.3．含时间的格林函数。本章重点：
泊松方程的基本积分公式，用电像法求格林函数。
第十三章 积分变换法（3）基本要求：
1．掌握傅立叶变换法在一维无界波动问题和输运问题的应用； 2．了解傅立叶变换法在多维无界问题中的应用； 3．了解拉普拉斯变换的在数学物理中的应用。教学内容：
§13.1．傅立叶变换法，达朗伯公式，限定源扩散，泊松公式，推迟势*。§13.2．拉普拉斯变换法，本章重点：
用傅立叶变换法求解一维无界波动问题和输运问题。
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