部分作业解答或提示参考 第一章 习题一14 证 由切比雪夫不等式_切比雪夫不等式例题

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部分作业解答或提示参考

第一章

习题一1.4

证（2）由切比雪夫不等式及E||0

P(||1/n)1P(||1/n)1nE||1

故P(0)P(||1/n)limP(||1/n)1。

n1n

（4）由切比雪夫不等式P(||n)E||/n及E||，得

P(||)P（习题二2.3

证对平稳序列{Xt}，任给整数k1，(X1,X2,,Xn)与(Xk,Xk1,,Xkn1)有相同的n阶自协方差矩阵。故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k1，存在非零实向量b(b1,b2,,bn)使得 var[Tnk1

ik{||n})limP(||n)0。n1nbik1(Xi)]0。

不妨假设bn0，则有对任给整数k1，Xnk可由Xk,Xk1,,Xnk1线性表出。

（1）对mn1，Xn可由X1,X2,,Xn1线性表出，Xn1可由X2,X2,,Xn线性

表出，故Xn1可由X1,X2,,Xn1线性表出。

（2）假设对所有nmnk，Xm可由X1,X2,,Xn1线性表出。则对

mnk1，由于Xnk1可由Xk1,Xk2,,Xnk线性表出，由假设，Xnk1也可由X1,X2,,Xn1线性表出。

根据（1），（2），对任何mn，Xm可由X1,X2,,Xn1线性表出，即存在常数a0,a1,,an1，使得Xma0aiXni,i1n1a.s.。

习题四4.3

解 显然(Xt,Xs)服从二维正态分布，且EXtEXs0。

记t12kl,s12mn,其中0l11,0n11，则Xt12il,Xs12jn，这里00。

i0j0km

由于{t}是正态白噪声WN(0,2)，故

（1）当ln，即ts(mod12)时，t,scov(Xt,Xs)0；

（2）当ln0，即ts(mod12),t12k时，t,scov(Xt,Xs)min(k,m)2[min(t,s)2]； 12

12),t12k时，（3）当ln0，即ts(mod

t,scov(Xt,Xs)min(k1,m1)

所以

2([min(t,s)]1)2。12t,tt,s(Xt,Xs)~N(,Σ)，其中(0,0)T,Σ。s,st,s

第二章

习题二

1X2.5ttt1,Xttat1（其中a0.5)a

1jjC(z)az，证明 取1azj0

令tC(B)Xt, 则

2j(1a)atjtt

j1

由定理4.4，{t}为正态平稳序列。由定理7.4,f()|C(ei)|2fX()

|1122i2i/a

ae||1ae|2f()2

为常数，因而{t}~WN(0,2/a2)，故结论成立。（也可计算自协方差来证明）

习题三

3.2提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A(z)B(z)时，是AR(p)序列。

习题五

5.4 提示：利用第一章7.4和第二章定理3.1。

Zt}仍然 {

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