切比雪夫不等式等号成立充要条件_基本不等式取等号

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切比雪夫（Chebyshev，1824—1894）不等式设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意常数>0,有

P(|XEX|)

Var(X)



或P(|XEX|)1

1p2

Var(X)

。

1p2

存在0>0使得等号成立的充要条件为P(XEX0)其中pP(XEX)。

证明：

Ⅰ、充分性：如果随机变量满足P(XEX0)

P(XEX0)

1p2

1p2,P(XEX0),，P(XEX)p，则

P(|XEX|0)P(|XEX|0)P(XEX0)P(XEX0)1p,Var(X)E(XEX)0

1p2

(0)

1p2

0p(1p)0,由此可得

P(|XEX|0)

Var(X)

0。

Ⅱ、必要性：设随机变量X的分布函数为FX(x)，由题设可知0P(|XEX|0)Var(X), 而Var(X)



0|xEX|0

(xEX)dFX(x)



|xEX|0

(xEX)dFX(x)，假设P(0|XEX|0)0则

Var(X)

0|xEX|0

(xEX)dFX(x)0，于是有



0|xEX|0

(xEX)dFX(x)0P(|XEX|0)0P(|XEX|0)，这与

题设矛盾，故

P(0|XEX|0)0，由前面证明可知

Var(X)



|xEX|0

(xEX)dFX(x)。

(x-EX)

假设P(|XEX|0)0,则得

Var(X)0P(|XEX|0)

|x-EX|0

dFX(x)0，于是有



|xEX|0

(xEX)dFX(x)0P(|XEX|0)，这与

题设矛盾，故

P(|XEX|0)0，于是得到

P(|XEX|0)1P(|XEX|0)1p即 P(XEX0)

1p2,P(XEX0)

1p2,pP(XEX)。

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