秋西南大学《数学分析选讲》第一次作业[全文]_西南大学数学分析真题

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《数学分析选讲》 第一次作业

一、判断下列命题的正误

1.设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.对

2.函数f(x)sinx为(,)上的有界函数.对 3．函数f(x)sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数.对 4.若数列{an}收敛，则数列{an2}收敛.对 5．若数列{an}有界，则数列{an}一定收敛.错 6．若数列{an}收敛，则数列{an}的任何子列都收敛.对 7.设数列{an}与{bn}都发散，则数列{anbn}一定发散.8．若S为无上界的数集,则S中存在一递增数列趋于正无穷.错 对

9．若函数f(x)在x0的极限存在，则f(x)在x0处一定连续.错

二、选择题

x2,x11．设f(x), 则 f[f(0)](A)3x,x1 A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数f(x)1,x为有理数，则 f(21)（C）．

0,x为无理数1 2A 1 ； B 1 ； C 0 ； D 3．若数列{xn}有极限a,则在a的(0)邻域之外，数列中的点（B）A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；

C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列{xn}收敛，数列{yn}发散，则数列{xnyn}（D）．

A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim|xn|2，则（C）

nA 数列{xn}收敛； B limxn2；

nC 数列{xn}可能收敛，也可能发散； D limxn2；

nx2axb)0，其中a,b是常数，则（B）6．已知 lim(xx1

A a1,b1；

B

a1,b1；

C a1,b1 ；

D a1,b1

三、计算题

(3x1)80(2x5)201．求极限 lim.x(5x1)100(3x6)70(8x5)201．求极限 lim.90x(5x1)6538xxlim90x15x7020(3x6)70(8x5)20解: limx(5x1)90

2．求极限limx0370820 905sinx.x11解：limx0sin2x(x11)sin2x limx0x11(x11)(x11)(x11)sin2x(x11)sin2xlim4

x0x0(x1)1x lim

3． 求极限lim(n1n1

解：因为nnn21n1n21n221nn2

nn12

又limnnn2nlimnn121，所以由迫敛性定理，limn1n121n221nn21

nxnx,x(,)的连续性.若有间断点指出其类型.4．考察函数f(x)limxnnnxnxnxn2x1lim2x1；解： 当x0时，有f(x)limx同理当x0时，有f(x)1.nnnxnn11,x0而f(0)0，所以f(x)sgnx0,x0。所以0是f的跳跃间断点.1,x0

四、证明题

设limana，limbnb，且ab.证明：存在正整数N，使得当nN时，有nnanbn.证明： 由ab，有aababb.因为limana，由保号性定理，存在n22ababN10，使得当nN1时有an。又因为limbnb，所以，又存在n22abN20，使得当nN2时有bnN1,N2}，当nN时，有.于是取Nmax{2abanbn

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