高考数学冲刺专题三：数列与不等式的交汇题_高考数学不等式专题

高考数学冲刺专题三：数列与不等式的交汇题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高考数学不等式专题”。

2010年高考数学冲刺专题三：数列与不等式的交汇题

一、选择题

1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有

aaAaa

aaD．aa6

8（）

aaB．a≤a6

8aaCaa

2．设{an}是由正数构成的等比数列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，则

A．bn＞cn

B．bn＜cn

C．bn≥cn

D．bn≤cn

（）

3．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则（）

A．a6＝b6 B．a6＞b6 C．a6＜b6 D．a6＞b6或a6＜b64．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足５＜ak＜８，则k＝（）

A．9 B．8 C．7 D．6

5．已知等比数列{an}的公比q＞0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是（）

A．S4a5＜S5a4 B．S4a5＞S5a4 C．S4a5＝S5a4 D．不确定

Sn

6．设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f(n)＝（）

(n＋32)Sn+

11A．201B．30

1C401D．50

（）

7．已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx－2)，lg(1－y)顺次成等差数列，则 A．y有最大值1，无最小值 11

C．y有最小值12，最大值1

B．y有最小值12，无最大值 D．y有最小值－1，最大值1

8．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是

Ａ．(－∞，－1Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．3，＋∞)Ｄ．(－∞，－1∪3，＋∞)

（）

93b是1－a和1＋a的等比中项，则a＋3b的最大值为()A．1 B．2 C．3 D．

410．设等比数列{an}的首相为a1，公比为q，则“a1＜0，且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1

＞an”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分比要条件D．既不充分又不必要条件

a11．{an}为等差数列，若a1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，10

n＝ A．11

B．17

C．19

D．21

（）

12．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝

N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 2，an＝f(n)(n∈

（）

A．2，2)

二、填空题

B．[2，2]

1C．21)1

D．[21]

S13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tnn如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是__________．

14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是________.(a＋b)

215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则cd是________.Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．

416．等差数列{an}的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：①A．若d＜0，且

S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项；②给定n，对于一定k∈N*(k＜n)，都有ank＋an+k＝2an；③若d＞0，则{Sn}中一定有最小的项；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak1同号

其中真命题的序号是____________.三、解答题

17．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通项an；（Ⅱ）求{an}前n项和

Sn的最大值．

18．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an+1)(n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上.(Ⅰ)

求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求证：bn ·bn+

2＜bn+1.3－an

119．设数列{an}的首项a1∈(0，1)，an＝2，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝a3－2an，证明bn＜bn+1，其中n为正整数．

20．已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝3，…

3bn＋

4，n＝1，2，3，….证明：2＜bn≤a4n3，n＝1，2，2bn＋

321．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和

为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

1m＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn20对所有n∈N*都成立的最小正整数m； anan＋1，2，）22．数列an满足a11，an1(n2n)an（n1，是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；（Ⅱ）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an0．

【专题训练】参考答案

一、选择题

1．B【解析】a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a12＋10a1d＋21d2，a62＝(a1＋5d)2＝a12＋10a1d＋25d2，a4a6故a≤a6

82．D【解析】设其公比为q,则bn－cn＝an(q－1)(1－q2)＝－an(q－1)2(q＋1)，当q＝1时，bn

＝cn，当q＞0，且q≠1时，bn＜cn，故bn≤cn.a1＋a11b1＋b1

13．B【解析】因为q≠1，b1＞0，b11＞0，所以b1≠b11，则a6＝2＝2b1b11＝b6.4．B【解析】因数列为等差数列，an＝Sn－Sn1＝2n－10，由5＜2k－10＜8，得到k＝8.5．A【解析】S4a5－S5a4 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a

4＝－a1a4＝－a12q3＜0，∴S4a5＜S5a4． 6．D【解析】由Sn＝

n(n＋1)nn11

f(n)＝＝＝264(n＋32)(n＋2)n＋34n＋64264＋34

n＋n＋34

1641＝50，当n＝n，即n＝8时取等号，即f(n)max＝f(8)＝50

7．B【解析】由已知y＝－3(sinx－2)2＋1，且sinx＞2y＜1，所以当sinx＝1时，y有最小11

值12，无最大值.11

8．D【解】∵等比数列{an}中a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2(q＋1＋q)＝1＋q＋q∴当公比q＞01

时，S3＝1＋q＋q≥1＋113，当公比q＜0时，S＝1－(－q3qq)≤1－

2(－q)·(－q＝

－1，∴S3∈(－∞，－1∪3，＋∞).9．B3b是1－a和1＋a的等比中项，则3b2＝1－a2a2＋3b2＝1，令a＝cosθ3b＝sinθ，θ∈(0，2π)，所以a＋3b＝cosθ＋3inθ＝2sin(θ＋6)≤2.10．A【解析】当a1＜0，且0＜q＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a1＞0，且q＞1，故选A.1

2×20(a1＋a20)a＋aa＋aaS11．C【解析】由a＜－1，得a0a01＜0S0，则要使

10101019

×19(a1＋a19)2

Sn取得最小正值必须满足S19＞0，且S20＜0，此时n＝19.12．C【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋

11n

－(22]111n

y)，a1＝2an＝f(n)(n∈N*)，an+1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)2an，∴Sn＝＝1－(12).则数列

1－

21{an}的前n项和的取值范围是21).二、填空题

13．2【解析】由a4－a2＝8，可得公差d＝4，再由a3＋a5＝26，可得a1＝1，故Sn＝n＋2n(n2n－1

1－1)＝2n2－n，∴Tn＝n2－nTn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值为2，答案：

21aqa1114．(－1，0∪(0，3【解析】23|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0∪(0，3.1－q(a＋b)2(x＋y)2(2xy)2

15．4【解析】cdxyxy＝4.16．D【解析】对于①：∵S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴S5＝S6，又d＜0，S5＝S6为

最大，故A正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d＞0，点(n，Sn)分布在开口向上的抛物线，故{Sn}中一定有最小的项，故③正确；而ak－ak+1＝－d，ak－ak1＝d，且d≠0，故④为假命题.三、解答题

 a1＋d＝1

17．【解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．

a1＋4d＝－5

所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．

n(n－1)

（Ⅱ）Sn＝na12＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4． 18．【解】(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1，即an+1－an＝1，又a1＝1，所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故an＝1＋(a－1)×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n从而bn+1－bn＝2n.bn＝(bn－bn1)＋(bn1－bn2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2

nn+2n1因为bn·bn+2－b2－1)2 n1＝(2－1)(2－1)－(2

n1

＋2

n2

1－2n

＋…＋2＋1＝＝2n－1.1－2

＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0, 所以bn·bn+2＜b2n1.3－an1

19．【解】（Ⅰ）由an＝2n＝2，3，4，….整理得

1－an＝－2－an1)．

又1－a1≠0，所以{1－an}是首项为1－a1，2得an＝1－(1－a1)(－2)n1，3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜an＜2bn＞0．那么，3－an3－an9abn+12－bn2＝an+12(3－2an+1)－an2(3－2an)＝(2)2(3－2×2)－an2(3－2an)4(an－1)2.又由（Ⅰ）知an＞0，且an≠1，故bn+12－bn2＞0，因此

bn＜bn+1，为正整数．

20．【解】（Ⅰ）由题设：an+1＝(2－1)(an＋2)＝(2－1)(an－2)＋2－1)(22)，＝(2－1)(an2)＋2，∴an+1－2＝(2－1)(an－2)． 所以，数列{an－2}a是首项为22，公比为2－1)的等比数列，an－2＝2(2－1)n，即an的通项公式为an＝2[(2－1)n＋1]，n＝1，2，3，….（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当n＝1时，因2＜2，b1＝a1＝2，所以2＜b1≤a1，结论成立．（ⅱ）假设当n＝k2＜bk≤a4k3，也即0＜bn－2≤a4k3－2，当n＝k＋1时，bk+1－2＝又

3bk＋4(3－22)bk＋(4－32)(3－2)(bk－2)

2＞0，2bk＋32bk＋32bk＋3

3－22，2bk＋322＋3

(3－22)(b2)

所以bk+12(3－2)2(bk2)≤(2－1)4(a4k3－2)＝a4k+1－2

2bk＋3也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，….21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.，又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n∈N*）.33111（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn＝2)，anan＋1(6n－5)[6(n－1)－5]6n－56n＋1

11111111

故Tn＝bi＝2[(1－7＋(713)＋…＋()]＝2），6n－56n＋16n＋1i=1

n

11m1m

因此，要使220n∈N*）成立的m，必须且仅须满足220，即m≥10，所以

6n＋1满足要求的最小正整数m为10.22．【解】（Ⅰ）由于an1(n2n)an(n1，2，)，且a11．

所以当a21时，得12，故3．从而a3(2223)(1)3．（Ⅱ）数列an不可能为等差数列，证明如下：由a11，an1(n2n)an 得a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(2)．

若存在，使an为等差数列，则a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得3．于是a2a112，a4a3(11)(6)(2)24． 这与

an为等差数列矛盾．所以，对任意，an都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记bnn2n(n1，2，)，根据题意可知，b10且bn0，即2 且n2n(nN*)，这时总存在n0N*，满足：当n≥n0时，bn0； 当n≤n01时，bn0．所以由an1bnan及a110可知，若n0为偶数，则an00，从而当nn0时，an0；若n0为奇数，则an00，从而当nn0时an0．因此“存在mN，当nm时总有an0” 的充分必要条件是：n0为偶数，b2k(2k)2k0

记n02k(k1．，2，)，则满足2

b(2k1)2k102k1

故的取值范围是4k22k4k22k(kN*)．

*

数列与不等式的交汇应用

数列与不等式的交汇应用数列与不等式的交汇问题，既有函数的思想方法，也有数列特定的思想方法，更有不等式求解、证明的方法和技巧，由于知识覆盖面广、综合性强而成为高考命题的热......

数列不等式题[全文]

数列不等式综合题示例例1 设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,) （Ⅰ）求q的取值范围； （Ⅱ）设bn3an2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn241n12例2设数列an的前n项的和Snan22•,•......

数列与不等式一

数列与不等式：1、设Sn为正项数列{an}的前n项和，且Sn（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn2、设Sn为正项数列{an}的前n项和，且Snan()n12（1）令bn2an，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通......

高考专题数列与不等式放缩法

高考专题——放缩法一、基本方法1.“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜例2.已知a、b、......

导数压轴题 导数与数列不等式的证明

导数与数列不等式的证明例1.已知函数f(x)alnxax3aR (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:112131nln(n1)(nN*) (3)证明:ln22ln33ln44ln55lnnn1nn2,nN* n(4)证明:ln2ln3ln4ln5ln......