放缩法与数列不等式的证明_放缩法证明数列不等式

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2017高三复习灵中黄老师的专题

放缩法证明数列不等式

编号：001 引子：放缩法证明数列不等式历来是高中数学的难点，在高考数列试题中经常扮演压轴的角色。由于放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点太大，缩小一点点太小”。为了揭开放缩法的神秘面纱，黄老师特开设这一专题，带领大家走近“放缩法”。一．放缩法证明不等式的理论依据： １．不等式的传递性：

２．同向不等式的可加性：

３．同向的正数不等式的可乘性：

二．常见的数列求和的方法及公式特点： １．等差数列的和;an_____sn______(nN)２．等比数列的和：ankqn,sn３．错位相减法：等差×等比

４．裂项相消法：若anan1d(d为常数）在三.常见题型分析：

１．放缩目标模型：可求和 １．１等差模型

1111()(nN)

anan1dan1ana1(1qn)（q1）(nN)1qn(n1)n(n2)1223...n(n1)例１.（１９８５全国卷）求证：(nN)22

n(n1)n(n3)1223...n(n1)变式：(nN)22

１.２等比模型

1111例２.求证：23....n1(nN)2222

变式.求证：1121112231......2n11(nN21)

例３.（２０１４全国卷Ⅱ１an满足a11,an13an1,1）证明：a1n2是等比数列.并求an的通項公式 2）证明：1a113a.......12an2

变式：求证：1211211152231......2n13(nN)

例４.（２００２全国卷理２２题７题）第２问已知数已知数列

列（（）an满足an1an2nan1,n1,2,3.......当a13时，证明对所有的n1,nN(1）ann2（2）证明：1a11a.......11121an12

１.３错位相减模型

例５.求证：12123n222233.......2nn2(nN)

１.４裂项相消模型

例2(2013广东文19第(3)问)求证：11313515711(2n1)(2n1)2

11111例６.证明：n12n12232......n2n(nN)

(nN)

111变式１.证明：122......22(nN)

变式２.证明：

变式３.证明：

变式４.证明：

变式５.证明：

23n 111172232......n24(nN)112115232......n24(nN)1213......1n2n(nN)1113252......(2n1)232

1115变式６.证明：122......235(2n1)4

常见的放缩技巧总结：