教育学重点概括_教育学重点全总结
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《九章算术》:采用问题集的形式,全简述花拉子米的时代,地方,著作,成就? 数系扩充的原则:
1．古希腊著名的三大尺规作图问题书246个问题,分成九章,包括:方田(各种面积计算公式与分数运算问题),粟米(各种比例问题),衰分(比例配分问题),少广(开平方,开立方等计算问题),商功(体积计算问题),均输(与运输,纳税有关的加权比例等问题),盈不足(盈亏问题的解法与比例问题),方程(线性方程组的应用问题),勾股(勾股定理及其应用问题)。
算经十书:周睥算经,九章算术,海岛算经,孙子算经,张邱建算经,五曹算经,五经算经,夏侯阳算经,缀术,缉古算经
九章算术的思想方法和特点:开发的归纳体系,算法化的内容,模型化的方法。
几何原本的思想方法的特点:封闭的演绎体系,抽象化的内容,公理化的方法
二者相对照,可发现从形式到内容都各有特色和所长,形成东西方数学的不同风格。几何原本以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来,九章则按问题的性质和解法把内容分类编排。几何原本很少提及应用问题,九章则是解应用问题为主。几何原本以几何为主,略有算术内容,九章包含了算术,代数,几何等我国当时数学的全部内容。
相同:集数学成就之大成者,成书历史久远,影响巨大,成为后世教科书。不同:几何原本是西方数学最早形成的演绎体系,采用“定义—公理,公设—定理”的公理化方法,注重逻辑的严密性,开创了推理证明的先河。
九章是中国由个别到一般的归纳体系,采用“问题—答案—算法”的体例,追求实用,讲究算法,但不注重逻辑结构。
简述微积分诞生的酝酿时期微分学和积分学的基本问题?
确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬间变化率问题的研究成为当务之急。望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线,这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避。确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点和远日点等涉及的函数的极大值和极小值问题,行星沿轨道运动的路程,行星矢径扫过的面积及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题—面积体积曲线长重心,引力计算的兴趣被重新激发起来。
简述开普勒利用“无限小元素和”推导球体积公式的方法?
开普勒与旋转体体积:要旨是用无数个同维的无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如她认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和,这些圆锥的顶点在球心,底面是球面的一部分。又把圆锥看成是极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。
简述费马大定理的内容,何时提出,解决?
小定理,1640.10.18提出,欧拉1736解决
大定理,x^n+y^n=z^n对任意大于二的自然数n无整数解,1670提出,1753欧拉解决证明n=3的情况。
在牛顿和莱布尼茨之前哪些数学家对微积分做贡献?
开普勒与旋转体体积:要旨是用无数个同维的无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。
费马求极大值极小值:设函数fx在点a处取极值,用a+e代替原来的未知量a,并使fa+e与fa逼近,及fa+e~fa。
简述莱布尼茨生活的世纪,国家,成就? 莱布尼茨:1646-1716德国,成就:提出特征三角形,建立发表分析微积分,提出符号逻辑的思想撰写《二进制算术》成为二进记数制的发明人,发明行列式。
几何原本中的五条公理: 等于同量的量彼此相等 等量加等量,和相等 等量减等量,差相等
彼此重合的图形是全等的 整体大于部分 五条公设:
假定从任意一点到任意一点可以作一直线
一条有限直线可不断延长 以任意中心和直径可以画圆 凡直角都彼此相等
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交
花拉子米:783-850阿拉伯,《代数学》《印度计算法》,第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明,同时引进了移项,同类项合并等代数运算,为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路。
朱世杰:1300前后,《算学启蒙》(一部通俗数学名著,流传海外,影响了日本朝鲜的数学发展)《四元玉鉴》(中国宋元数学高峰的又一标志),“招差术”,高次内插法。跺积术,高阶等差级数求和。四元术,多元高次联立方程组与消元解法。
秦九韶:1202-1261四川安岳,《数书九章》“正负开方术”“大衍总数术”,即一次同余式的一般解法。使宋元算书在中世纪世界数学史上占有突出地位。
阿波罗尼奥斯:公元前262-190.年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习,那时是托勒密三世统治时期,到了托勒密四世时代,他在天文学研究方面已颇有名气。《圆锥曲线论》贡献祝我涉及几何学和天文学,在前人工作基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。
论证几何学鼻祖—泰勒斯:最早的希腊数学家,领导了“爱奥尼亚”学派开了希腊证明的先河。泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角。测量过金字塔的高度。证明了四条定理:圆的直径将圆分为两个相等的部分;等腰三角形两底角相等;两相交直线形成的对顶角相等;如果一三角形有两角一边分别与另一三角形的对应角、边相等,那么这两个三角形全等。
笛卡尔:1596-1650法国《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》,三个附录:《几何学》《屈光学》《气象学》,发明了解析几何。
三次数学危机何时,内容,解决?
第一次:公元前六世纪,在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派,其思想在当时被认为是绝对权威的真理,毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观,他们认为宇宙的本质就是数的和谐,他们认为万物皆数,而数有两种,就是正整数和可通约的数(即分数,两个整数的比),除此之外不再有别的数,即世界上只有整数和分数。
解决:无理数的存在,诞生
第二次:公元十七世纪,牛顿,莱布尼茨创立了微积分,微积分能提示和解释许多自然现象,它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起了人们高度的重视。然而,许多地方存在漏洞,还不能自圆其说。
解决:有了极限理论,实数理论和集合论后,微积分才算建立在比较稳定和完美的基础上,从而结束了两百多年的纷乱争论局面,进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。
第三次:19世纪70年代 ,罗素悖论的出现,动摇了数学的基础,震撼了整个数学界,导致了第三次危机。
解决:最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合公理化,策梅罗认为适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性,他首次提出了集合论公理系统。
集合论发展经历了哪几个阶段? 集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的。17世纪出现的微积分在之后的一两百年中获得了飞速发展并结出了丰硕的果实,其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础,19世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动。其中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端。集合论前后经历20余年,最终获得了世界公认。数学家们为一切数学成果都了建立在集合论的基础上的前景而陶醉了,乐观的认为从算术公理系统出发,借助集合论概念,便可以建造起整个数学的大厦。
1900年第二次国际数学大会上,庞加莱就提出“数学已经被算术化了”。不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。也造就了第三次数学危机。
1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统。原本直观的集合概念被建立在了严格的公理基础之上,从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段,公理化集合论。
1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,较圆满的解决了第三次数学危机。
1,从数系A扩充到数系B必须是A真包含于B,即A是B的真子集。
2.数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算,且这些运算对于B中A的元来说与原来的A的元之间的关系和运算相一致。
3.A中不是永远可行的某种运算,在B中永远可行。例如,自然数系扩充为整数系后,减法的运算就能施行。
4.B是满足上述条件的唯一的最小的扩充,例如,自然数系只能扩充为整数系,而不能一下子扩展为实数系。
论述数学史对数学教育的意义和作用: 数学史进入课程是数学新课程改革的重要理念之一。在课程变革由结构—功能视角向文化—个人视角转变的过程中,文化融入是师生对课程改革适应性的一个重要因素。对数学学科而言,数学史是数学文化生成的文库性资源,是最具权威的课程资源,具有明理,哲思,求真的三重教育价值。
明理:数学知识从何而来,数学史展示数学知识的起源,形成与发展过程,诠释数学知识的源与流。
哲思:数学是一门什么样的科学?数学史明晰数学科学思想脉络和发展趋势,让学生领悟数学科学的本质,引发学生对数学观问题自觉地进行哲学沉思,有利于学生追求真理和尊崇科学品德的形成。
求真:数学科学有什么用?数学史印证数学科学伟大的理性力量,让学生感悟概念思维创生的数学模式对于解析客观物质世界的真理性,提高学生对数学的科学价值,应用价值,文化价值的认识。
学习数学史可以帮助人们:理解数学的本质,掌握数学的思想方法,重走数学家发现的(思维的)关键性步子。因此,要重视数学史在数学教学中的意义和作用,通过数学家展现数学知识的发现历程,让学生了解数学知识的来龙去脉,是数学教学的有效策略。展现数学知识的发现过程,不是简单的叙述数学史实,重复数学家的“原发现过程”。而是需要教师开展教育取向的数学史研究,从中获得对数学教学的启示,引导学生重走数学发现之路。
论述东方古代数学和西方古代数学各自的主要特征,对现代数学的影响,及其对数学教育的启示?
古希腊数学的三个阶段:古典时期的希腊数学——哲学盛行,学派林立,名家百出
亚历山大学派时期——希腊时期的顶峰时期,代表人物:欧几里得,阿基米德,阿波罗尼奥斯
希腊数学的衰落——罗马帝国的建立,唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替。
古希腊哲学与数学的交织:古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的,古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态,虽然有许多错误的东西,但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测。恩格斯说,在希腊哲学的多种多样的形式中,差不多的可以找到以后各种观点的胚胎,萌芽,因此,如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史,它就不得不回到希腊人那里去。
与希腊数学相比,中世纪东方数学表现处强烈的算法精神,特别是中国与印度数学,着重算法的概括,不讲究命题的数学推导。就繁荣时期而言,中国数学从公元前后至公元14世纪,先后经历了三次发展高潮,即两汉时期,魏晋南北朝时期以及宋元时期,其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。?所谓“算法”,不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学的问题而概括出来的,带一般性的计算方法。
算法倾向本来是古代河谷文明的传统,但在中世纪却有了质的提高。这一时期中国与印度的数学家们创造出的大量结构复杂,应用广泛的算法,很难再仅仅被看做是简单的经验法则,它们是一种归纳思维能力的产物。这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲,与希腊数学交汇结合,孕育了近代数学的诞生。
分别是：化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。三等分角，即分任意角为三等分。
2．欧几里德是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编撰出旷世巨著《原本》.3．中国古代把直角三角形的两条直角边分别称为 勾 和股，斜边称为 弦.4．“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条.6．1687年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，它具有划时代的意义，是微积分创立的重要标志之一，被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.7．1637年，笛卡儿发表了他的哲学名著《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，解析几何的发明包含在这本书的附录《几何学》中.8．非欧几何的创立主要归功于数学家高斯，波约和罗巴切夫斯基。9．解析几何的发明归功于法国数学家费马和笛卡尔.11．徽率、祖率(或密率)、约率分别是157/50、355/113和22/7
12．《海岛算经》的作者是__刘徽《四元玉鉴》的作者是朱世杰.13．秦九韶的代表作是《_数书九章》，他的提出正负开方术是求高次代数方程的完整算法，他提出的大衍总数术是求解一次同余方程组的一般方法.14．我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫割圆术，用来计算面积和体积的一条基本原理是“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变
15．对数的发明者纳皮尔是一位贵族数学家，拉普拉斯曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”.16.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是牛顿，第一个公开发表微积分论文的数学家是__莱布尼茨__.17.古代美索不达米亚的数学常常记载在泥板上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是代数领域.18．阿拉伯数学家花拉子米的《还原与对消计算概要》第一次给出了_一元二次程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明.19.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中_欧几里得平行公设_的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是__罗巴切夫斯基__.20．起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是分形几何，它诞生于20世纪.21．四色问题是英国青年大学生古德里_于19世纪提出的.22．在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在几何方面，美索不达米亚的数学成就主要在代数方面.23．用圆圈符号“O”表示零，可以说是_古印度__的一大发明，有零号的数码和十进位值记数在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至__欧洲
24．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性_、__独立性__、_完备性___.25．被称为“现代分析之父”的数学家是_魏尔斯特拉斯__，被称为“数学之王”的数学家是_高斯__.26.“数学无王者之道”，这里的“王”是指几何.27.被著名数学史家贝尔称为“最伟大的埃及金字塔”是指纸草书中的截棱锥体
28刘徽是中算史上第一个建立可靠理论来推算圆周率的数学家.
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