高中数学《数学归纳法》学案1 新人教A版选修22_选修高中数学学案
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数学归纳法的典型例题分析
例1 用数学归纳法证明等式
时所有自然数 都成立。
证明（1）当
（2）假设当
时，左式，右式
时等式成立，等式成立。
即
则
则
时，等式也成立。
均成立。
时等式成立时，注意分析
与的两
由（1）（2）可知，等式对
评述 在利用归纳假设论证
个等式的差别。
变到
时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由
应与
合并，才能得到所证式。因而，因此在证明中，右式中的在论证之前，把
时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。
用心爱心专心 1
由例1可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是
系；二是
与的关系。
与 的关
例2 用数学归纳法证明
对任意自然数，证明（ⅰ）当
时，能被17整除，命题成立。
（ⅱ）设
则
时，由归纳假设，能被17整除，也能被17整除，所以
都能被17整除。
用
表示。上例中的能被17整除。
时，能被17整除。
都能被17整除。
由（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意
评述 用数学归纳法证明整除问题，常常把
还可写成，易知它能被17整除。例3 用数学归纳法证明
…
用心爱心专心 2
证明（ⅰ）当
时，左式
右式
∵
∴
即
时，原不等式成立。
（ⅱ）假设
（）时，不等式成立，即
则
时，左边
右边
要证左边 右边
只要证
只要证
只要证
而上式显然成立，所以原不等式成立。即
时，左式 右式
由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式对大于1的自然数均成立。用心爱心专心 3
评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析
与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式
。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。
例4 在数列
中，若它的前 项和
（）
1）计算，，；
2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。
解（1）由题意，即
∴
即
∴
即
∴
∴
（2）猜想
证明 ⅰ）
时，命题成立。
ⅱ）假设
时，命题成立，即
当
时，∴
用心爱心专心 4
又
因而
解得
即
时，命题也成立。
由ⅰ）ⅱ）可知，命题对
均成立。
用心爱心 专心5
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