高中数学选修22数学归纳法学案2_选修高中数学学案

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07《2.3数学归纳法》学案

一、学习目标

（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。二．教学重点：

（1）理解数学归纳法原理。

（2）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。三．教学难点：

理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。四．教学过程： 数学归纳法的步骤：

应用数学归纳法的两个要点：

(1)第一步验证是证明的基础，第二步递推是证明的关键，有一无二是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，递推就失去了基础，结论同样不可靠．即二者缺一不可．

(2)在推证当n＝k＋1时命题也成立时，必须使用n＝k时的结论(即归纳假设)，否则就不是数学归纳法．

问题导学

一、用数学归纳法证明等式

(1)用数学归纳法证明对任何正整数n有

1n3＋115＋135163＋„＋4n

1－12n＋1

证明：(1)①当n＝1时，左边＝111

32＋1

3∴等式成立；

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 13＋115＋135＋163＋„＋1k4k－1＝2k＋1 则当n＝k＋1时，13＋115＋135＋163＋„＋114k－1＋4(k＋1)－1

＝k12k＋14(k＋1)－1

＝k1

2k2＋3k＋12k＋1(2k＋3)(2k＋1)＝(2k＋3)(2k＋1)

＝(k＋1)(2k＋1)k＋(2k＋3)(2k＋1)12(k＋1)＋1 ∴当n＝k＋1时等式也成立．

由①②知等式对任何正整数n都成立．

(2)①当n＝2时，左边＝1－13

2＋134＝4，右边＝2×2＝

4∴左边＝右边，∴n＝2时等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即1141－19„1－1

kk＋1＝2k

那么n＝k＋1时，11－411－9„11－k1－1(k＋1)k＋1＝2k1－1(k＋1)

＝k＋1k(k＋2)k＋2(k2k(k＋1)2(k＋1)＋1)＋12(k＋1)即n＝k＋1时等式成立．

综合①②知，对任意n≥2，n∈N*等式恒成立．

(2)用数学归纳法证明

1－11－11－116„1－1n＝n＋1492n

(n≥2，n∈N*)．(2)①当n＝2时，左边＝1－13

2＋134＝4，右边＝2×2＝4

∴左边＝右边，∴n＝2时等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即1141－19„1

k＋11－k＝2k

那么n＝k＋1时，1－1411

11－9„1－k1－(k＋1)k＋1＝2k1－1(k＋1)

＝k＋1k(k＋2)k＋2(k＋1)＋12k(k＋1)2(k＋1)2(k＋1)

即n＝k＋1时等式成立．

综合①②知，对任意n≥2，n∈N*等式恒成立．

二、用数学归纳法证明不等式

(1)用数学归纳法证明111

3＋„＋nn(其中n∈N*，n＞1)．

(1)证明：①当n＝2时，左边＝1＋12，1

21＋22＝1－2＞0，所以左边＞

右边，即不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即1＋

121＋„＋1

＞k，则当n＝k＋1时，112＋13„＋1k1k＋1 ＞k＋1k＋1

．

(方法1)由于1k＋k＋1－(k＋1)k＋k－kk＋k＋1－k＋1＝k＋1＝k＋1＝k＋1(k＋k＋k)

＞0k1

k＋1k＋1，即1＋111＋„＋1

k＋1

k＋1．

(方法2)k1

k＋1＝k＋k＋1k＋1k＋1k＋1＝k＋1k＋1

＝k＋1，所以1＋1111

3„k＋k＋1

k＋1．

即当n＝k＋1时原不等式也成立，由①②知原不等式成立．

(2)若不等式11an＋1n＋21n＋3＋„＋1

3n＋12

4对一切正整数n都成立，求正整数a的最

大值，并证明你的结论．)解：取n＝1，11126

1＋1＋1＋2＋3×1＋1＝24

令2624＞a

a＜26，且a∈N*，所以取a＝25．下面用数学归纳法证明 1n＋1＋1n＋2„＋13n＋12524． ①n＝1时，已证结论正确．

②假设n＝k(k∈N*)时，1112

5k＋1＋k＋2„＋3k＋124，则当n＝k＋1时，有1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2„＋1111

3k＋13k＋23k＋3＋3(k＋1)＋1

＝11＋1111125k＋1k＋2＋„3k＋1＋3k＋23k＋3＋3k＋4k＋1＞24＋13k＋2＋13k＋423(k＋1)

． 因为16(k＋1)6(k＋1)6(k＋1)3k＋2＋13k＋4＝211

9k＋18k＋8＞9k＋18k＋9＝9(k＋1)＝3(k＋1)，所以3k＋2＋3k＋4

－2

3(k＋1)

0，1(k＋1)＋11(k＋1)＋2＋„＋13(k＋1)＋1＞25

即n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，对一切n∈N*，都有1n＋11n＋2＋„125

3n＋124

25．三、用数学归纳法证明整除问题

1．用数学归纳法证明32n＋

2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

．证明：(1)当n＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除，∴当n＝1时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，32k＋

2－8k－9能被64整除． 则当n＝k＋1时，32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9·32k＋2－8k－17

＝9(32k＋

2－8k－9)＋72k＋81－8k－17

＝9(32k＋2－8k－9)＋64k＋64＝9(32k＋

2－8k－9)＋64(k＋1)．

∵32k＋

2－8k－9与64(k＋1)都能被64整除，∴当n＝k＋1时，命题也成立．

由(1)(2)可知，对任意n∈N*，原命题都成立．

2．证明：an＋1＋(a＋1)2n－

1能被a2＋a＋1整除，n∈N*．

2．证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－

1＝a2＋a＋1，命题显然成立．

(2)假设当n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋

＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a

＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－

1．由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n∈N*命题都成立．

四、归纳、猜想、证明

在各项为正的数列{a项和S1

1n}中，数列的前nn满足Sn＝2an＋an．

(1)求a1，a2，a3；

(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

解：(1)由S1

1＝a12a11＋a，得a211＝1．因为an＞0，所以a1

11＝1．S2＝a1＋a22a2＋a2，得a2

2＋2a2－1＝0，又因为an＞0，所以a2＝2－1．

S＝1

3＝a1＋a2＋a32

a13a3，得a23＋2a3－1＝0，所以a3＝3－2．(2)猜想annn－1(n∈N*)． 数学归纳法证明如下：

①n＝1时，a110＝1，命题成立．

②假设n＝k(k∈N*)时，a＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a1

1kk＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1＋ak＋1

－121aka1111k，即ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1

－2k－k－1＋k－k－1＝1a12k＋1

ak＋1－k，所以a2k＋1＋2k ak＋1－1＝0．

又因为an＞0，所以ak＋1＝k＋1－k，即n＝k＋1时，命题成立．

由①②知，对n∈N*，an＝n－n－1． 当堂检测

1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋2n＋1＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(C)

A．1B．1＋3

C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4

2．满足1×2＋2×3＋3×4＋„＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数等于(C)A．1B．1或2 C．1,2,3D．1,2,3,4

3．已知S1111

n133557

(2n1)(2n1)，则S1＝__________，S2＝__________，S123

3＝__________，S4＝__________，猜想Sn＝__________．答案：3 5 7

n2n1

4．用数学归纳法证明1+1211

32n1

n(n∈N，且n＞1)，第二步证明从“k到k

＋1”，左端增加的项数是________．答案：2k 解析：当n＝k时左端为1+111

232k1，当n＝k＋1时左端为1+12131111

2k12k2k12k11，故增加的项数为

2k项．

5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明

交点的个数f(n)

n(n1)

．答案：证明：(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个． 又f(2)＝

×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．

(2)假设n＝k(k＞2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12

k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝1

k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝

12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝11

2k(k＋1)＝2

(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，对n∈N*(n≥2)命题都成立． 补充作业：

1.使不等式2n

n2

1对任意nk的自然数都成立的最小k值为（）A.2B.3C.4D.5

2.若命题p(n)对n=k成立，则它对nk2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是

A.p(n)对所有自然数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立

D.p(n)对所有大于1的自然数n成立

3.用数学归纳法证明不等式11211127

42n164

成立，起始值至少应取为

A.7B.8C.9D.10

4.对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a.5.用数学归纳法证明等式

123(2n1)(n1)(2n1)时,当n1时左边表达式是;从kk1需增添的项的是.6.给出四个等式: 1=11-4=-(1+2)

1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)„„

猜测第n个等式，并用数学归纳法证明.7.用数学归纳法证明

:

(11)(1)(1)nN*)

32n1

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