求函数极限方法的若干方法_求函数极限的若干方法
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求函数极限方法的若干方法
摘要： 关键词：
1引言：极限的重要性
极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
2极限的概念及性质2.1极限的概念
2.1.1limn→∞
xn=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有 xn−A
2.1.2limx→∞f x =A↔∀ε>0，任意整数X，使得当 x >时就有 f x −A
，整数，使得当
时有
。，时右极限与左极限：。在此处键入公式。
2.2极限的性质
2.2.1极限的不等式性质：设若若，则，使得当，当
时有
。时有时有，则；
。，则
与，使得当
在的某空心邻
时，时有，则。
。
2.2.1（推论）极限的保号性：设若若,则，使得当，当2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有
内有界，即3求极限的方法
1、定义法
2、利用极限的四则运算性质求极限,3、利用夹逼性定理求极限
4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限,6、利用洛必达法则求极限,7、利用定积分求极限,8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限
9、利用变量替换求极限,10、利用递推公式求极限,11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限,13、利用泰勒展开式求极限,14、利用两个准则求极限
15、利用级数收敛的必要条件求极限
16、利用单侧极限求极限
17、利用中值定理求极限 3.1定义法
利用数列极限的定义求出数列的极限.设的,总存在一个正整数
.，当
是一个数列,是实数,如果对任意给定,我们就称是数列
时,都有的极限.记为例1 证明
证 任给，取，则当时有，所以。
3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则。，例1求解 这是求
型极限，用相消法，分子、分母同除以
得。，其中3.3利用夹逼性定理求极限
当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若则。，使得当时有，且，3.3.2（函数情形）若，则，使得当。
时有，又
例题
解 ：，其中，因此。
3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是，或。
第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题1解：令t=故 例题23.5利用迫敛性求极限,且在某个。
内有,那么
.则sinx=sin（t)=sint, 且当
时
例 求的极限
解：因为.且 由迫敛性知
所以
3.6利用洛必达法则求极限
假设当自变量和趋近于某一定值（或无穷大）时，函数
和
和
满足：的导数不为0的极限都是或都是无穷大都可导，并且存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。
例题 求
解 原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：
1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。
2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。
3.7利用定积分求极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例
上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。
解 原式=，由定积分的定义可知。
3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。例
解 注意时。
3.9利用变量替换求极限
为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。
例 已知证 令
试证
则时，于是
当时），故时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即，使得
。所以
（当
原式得证。
3.10利用递推公式求极限
用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。
例 设，对，定义
且
。证明 时，解 对推出递推公式解得,，因为，因此，序列
中可以得出
是单调递增且有界的，它的极限，设为，从，即。
3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即，例如 求极限 解 本题属于有
型极限，利用等价无穷小因子替换
=
=,，称
与
是
时的无穷小量，记作
注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有。
另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。
小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换,无穷小等价代换可以很好的简化解题。
3.12利用函数的连续性求极限
在若处连续，那么且
在点连续，则。
例 求的极限
解：由于
及函数在处连续，故
3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题
3.14利用两个准则求极限
3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数，并且例题
3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。,当时，则
则。
利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例题
3.15利用级数收敛的必要条件求极限
利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例题
3.16利用单侧极限求极限
1）求含的函数
趋向无穷的极限，或求含的函数
趋于的极限;2）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及
或的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例题
3.17利用中值定理求极限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2积分中值定理
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