求极限的方法_求极限的几种方法

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求极限的若干方法

杨品玲

摘要：极限是数学分析中最重要的基本概念之一。微分、积分和级数概念的引进，充实了求极限的方法。求极限的八种方法：用极限四则运算法则、单调有界准则、两边夹定理、两个重要极限、等价无穷小、洛必达法则、积分的性质及定义、级数收敛的必要条件，并且进行归纳总结。有助于拓展学生的解题思路，提高教学质量。

关键词：积分性质；极限思想；洛必达法则

引言

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题，如瞬时速度、曲线弧长、曲变形面积、曲面体体积等问题，正是由于它采用了极限的思想方法。教学中，怎样求极限也就显得尤为重要。

1极限产生的历史

1.1极限思想

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

1.2极限思想的产生与发展

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用。16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向。18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念。到了世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”[1]。

2求极限的方法

2.1用极限四则运算法则求极限

若数列an与bn都收敛，则有

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

limanbnlimanlimbn

n

n

n

an

anlimn

bn0）（其中bn0,limlim

nnblimbnn

n

总的来说，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。利用极限的四则运算法则，可以求出较为复杂的函数的极限。

12223242n2

例、求极限lim.nn3

分析：所给函数中，当n时，分子为无穷多项和，分母也趋近于无

穷，首先应将函数进行初等变形，即先求出分子的和，化简分式，再求极限。

解：分子的和

n(n1)(2n1)，6

n(n1)(2n1)nn12n1

lim原式=lim 3nn6nnn6n

1n12n1

lim=lim（运算法则）

6nnnn1111

(1)lim(2)（当n，0）=lim6nnnnn11

=12.631222324252n2

2.2利用单调有界准则求极限

单调有界准则就是单调有界数列必定存在数列。例、证明：若a12，an12an，n1，2，3，…… 分析：本题的证明过程分三步：

证明数列单调；② 证明数

列有界；③ 根据通项关系计算极限。根据公理，数列an收敛。

证明：先用归纳法证明数列an有上界，上界是2.事实上，当n1，a222；设an2，则

an12an222.其次，数列严格递增；

nN，有（已知nN，n2）

an1an2ananan(2an)0.ana，有 根据公理，数列an收敛，设lim

n

liman2liman，即a22a，a2，1lim2ann

n

n

 liman2.n

2.3 用两边夹定理求极限

用两边夹定理求极限，关键是找出两个有相同极限的收敛函数，把fx 夹在中间。

(例、证明lim

n

111111)0.222222nn1n2n3n4nn

分析：解此题的关键是找出两个有相同极限的收敛函数f(n1)和f(n2)，且满足f(n1)f(n)f(n2)。

11111，22222nn1n2n3nnn1

f(n1)2（分母扩大，分子不变，分数值减小）

nnn1

f(n2)2（分母减小，分子不变，分数值扩大）

n

11111

22证明：设f(n)222，nn1n2n3nn11111n1

f(n)222222，nn1n2n3nnnn

n1

同理，f(n)2；

n

n11n11

li0，lim2lim0.li2

nnnnnnnn2n

设f(n)

limf(n)0，即

n

lim（n

111111

)0.222222nn1n2n3n4nn

2.4 运用两个重要极限求极限

(1)ne，可以求出许多幂指函数的极限。1）运用重要极限limn

1n

(1例

1、求极限limn

1n).n1

分析：此题不能直接运用重要极限求解，首先要对幂指数进行构造。

1n1n33)lim(1)nn3n31n313

im(1)lim(1)lnnn3n3(1解：limn

e13e.

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