高考数学函数的周期性_高三数学函数的周期性

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函数的周期性与对称性、函数的图象变换、函数应用问题

一.教学内容：

函数的周期性与对称性、函数的图象变换、函数应用问题

二.教学要求：

1.理解周期函数的定义，会求简单周期函数的周期。

2.理解函数图象关于点对称或关于直线对称的定义，会解决一些较简单的对称问题。

3.熟悉常见的抽象函数及其性质。

4.会识图，即通过给定的函数图象分析函数的有关性质（如：范围，对称性，周期性，有界性等）。

5.掌握图象变换的基本方法，会进行较基本的图象变换。

6.熟悉解应用问题的步骤，能建立较简单的数学模型。

三.知识串讲：

1.周期函数：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的任意一个x，总有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期函数。T叫做这个函数的一个周期，其中最小正数T叫做最小正周期。

（定义的实质，是存在一个常数T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自变量每增加一个T后，函数值就会重复出现一次）

关于函数的周期性，有如下结论：

（1）若T为函数f(x)的一个周期，则kT(kZ且k0)也是f(x)的周期，即

f(xkT)f(x)。

（2）若f(x)是一个以T为周期的函数，则f(axb)(a0)是一个以T为周a期的函数。

证明：（证明的方向f[a(xT)b]f(axb)）a

T)b]f[(axb)T]a

由T是f(x)的周期设uaxbf(uT)f(u)f(axb)

T是函数f(axb)的周期a

f[a(x

如：ysinx的周期为T2，则ysin(x)(0)的周期为2

（3）若f(x)满足f(xa)f(xb)恒成立，a,b为常数且ab，则Tab

是f(x)的一个周期。

这是因为f(xab)f[(xb)a]f[(xb)b]f(x)

Tab

（4）若f(x)满足f(xa)f(xb)，则f(x)以T2(ab)为一个周期。

证明：f[x2(ab)]f[(x2ba)a]

f[(x2ba)b]f[(xb)a]

[f(xbb)]f(x)

T2(ab)

推论：f(xa)f(x)

则f(x)以T2a为一个周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.对称问题：

（1）若函数f(x)满足f(ax)f(bx)恒成立，（a,b为常数）则f(x)的图ab对称。2

axbxab这是因为：，又f(ax)f(bx)，即函数图象上纵坐2

2象关于直线x标相等的两个点（ax，f(ax)），（bx，f(bx)）连线的中点都在直线xabab上，所以f(x)的图象关于直线x对称。22 y P P’ 0 a-x b+x x ab 2

xa对称

当ab时，即f(ax)f(ax)，则f(x)图象关于直线

若f(2ax)f(x)，则f(x)图象关于直线xa对称

（2）若函数f(x)满足f(ax)f(ax)恒成立，则f(x)的图象关于点（a,0）对称。

y a-x 0（a,0）x

3.函数图象变换：

（1）平移变换：

右平移a（a>0）f（x－a）图象 f（x）图象 左平移a（a>0）f（x＋a）图象 上平移b（fx）＋b图象 f（x）图象 下平移b（fx）－b图象

（2）对称变换：

f(x)图象关于y轴对称f(x)图象关于x轴对称f(x)图象与f(x)图象关于原点对称f(2ax)图象关于xa对称1f(x)图象关于yx对称

（3）伸缩变换：设A0，0

横坐标缩短(1)f(x)图象f(x)图象1或伸长(01)到原来的倍

纵坐标伸长(A1)f(x)图象Af(x)图象或缩短（0A1）到原来的A倍

（4）翻折变换：

将x轴下方部分f(x)图象|f(x)|图象作关于x轴对称

保留图象的x0部分，去掉f(x)图象f(|x|)图象x0部分，再作关于y轴对称

4.函数的应用问题：

解答数学应用问题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，明确问题的实际背景，然后进行概括，归纳为相应的数学问题；二是合理选取参变数，设定变元后，寻找等量（或不等量）关系，建立相应的数学模型，求解数学模型，使问题获解。即

读题建模求解反馈（数学语言）（数学计算）（检验作答）

（文字语言）

【典型例题】

2（1）函数f(x)xbxc对任意实数x，均有f(1x)f(1x)，比较

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大小；

2（2）若函数yf(x)的图象关于x1对称，且x1时f(x)x1，则当x

1时，求f(x)的表达式。

解：（1）由f(1x)f(1x)，可知函数f(x)的图象关于x1对称，又函数图

象是开口向上的抛物线，所以f(3)f(0)f(1)。

（2）当x1时，有2x1

所以f(2x)(2x)1x4x5 22

又由于yf(x)图象关于x1对称

f(2x)f(x)

所以当x1时，f(x)x4x5

注：（2）题也可以根据图象的对称性，确定顶点坐标，直接写出解析式。

例2.偶函数f(x)的定义域为R，若f(x1)f(x1)对任意实数都成立，又当0

2x1时，f(x)2x1。

（1）求证f(x)是周期函数，并确定周期。

（2）求当1x2时，求f(x)的解析式。

解：（1）令tx1，则x1t2

由xR时f(x1)f(x1)恒成立

得tR时f(t)f(t2)恒成立

因此f(x)是周期函数，且2k(kZ且k0)为其周期

（2）任取1x2

则1x20x0x21

0x1时，f(x)21

x2f(x2)21

又f(x)的周期为2，且为偶函数

f(x2)f(x)f(x)

x21x2时，f(x)21

点评：本题的解抓住两个关键条件，一个是f(x)为偶函数，另一个是f(x)为周期函数。一般求f(x)在哪个区间上的解析式，就令x属于该区间，再通过平移（周期性），对称（奇偶性）变换到已知区间内，进而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化简为f(x)。

例3.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=a，x=b（a≠b）都对称，且定义域为实数集R，证明y=f(x)是周期函数，且T=2(b—a)为一个周期。

证明：由题意有f(ax)f(ax)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(bx)f(bx)

则f[x2(ba)]f[(xb2a)b]f[b(xb2a)]f[x2a]f[(xa)a]

f[a(xa)]f(x)

f(x)为周期函数，且T2(ba)为一个周期

点评：（1）若题目中没有指出T=2(b—a)是f(x)的一个周期，可以作草图分析，猜测出T是该函数周期，再去证明。如图。

y 0 x a b ba 2

（2）由本题可知f(x)，x∈R，若f(x)的图象有两条对称轴，则f(x)为周期函数，周期为两条对称轴距离的2倍。

思考：若f(x)是偶函数且有一条对称轴x=a，那么f(x)是周期函数吗？若是，周期为何？

例4.（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是________（奇、偶）函数；f(0)=____________。

（2）定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)是___________（奇、偶）函数；f(1)=__________。

解析：（1）令xy0

f(00)f(0)f(0)

令yx

f(x)f(x)

（2）令xyf(11)f(1)f(1)f(0)0

f(0)f(x)f(x)0

f(x)为奇函数

f(1)0

f(xx)f[(x)(x)]f(x)f(x)2f(x)

又f(xx)f(x)f(x)2f(x)

f(x)f(x)f(x)为偶函数

2x1的图象，并根据图象回答函数的单调区间，值域。x1

例5.作出函数y

解：x1

函数定义域为(，1)(1，)

由y2x12(x1)112x1x1x1

图象为中心O'(1，2)的双曲线

直线x1，y2是双曲线的两条渐近线

区间(，1)，(1，)分别为函数的增区间；值域为{y|yR，且y2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函数ylog4(12xx)的图象经过怎样的变换可得到ylog2|x|的2图象？

（2）将函数ylog1x的图象沿x轴向右平移1个单位，得图象C。图象C'与2C关于原点对称，图象C''与C'关于直线yx对称，求C''对应的解析式。

左平移1个单位22（1）ylog(12xx)log(x1)log|x1| 4

42解：|log|2x1)12x|

ylog|(2将函数ylog(12xx)的图象向左平移1个单位，得到函数ylog2|x| 4的图象

沿x轴向右平移1个单位（2）ylog1x图象

关于原点对称C：ylog1(x1)图象

关于直线yx对称C'：ylog(x1)图象1

1xxC''：xlog(y1)，即y()121122

32设f(x)axbxcxd的图象如图，则b属于（例7.）

A.(，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，)

y 0 1 2 x

f(0)0d0由图象得f(1)0abc0f(2)08a4b2c0

解析一：

b2解得a，cb，d03b2bf(x)x3bx2bxx(x1)(x2)333

图象可知x0时，f(x)0

又x10，x20

故选A

解析二：由图象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三个实根，设f(x)=ax(x—1)(x—2)

当x2时，f(x)0

a0b03b0f(x)ax33ax22ax

32又f(x)axbxcxd

b3a0 选A

21关于函数f(x)sin2x()|x|，有下面四个结论：32

例8.（1）f(x)是奇函数；

（2）当x>2003时，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正确结论的是___________。

212（1）f(x)sinx()|x|32

解析：

显然f(x)f(x)（1）错（是偶函数）

2（2）当x2003时，()|x|03

而sinx[1，1]

2当sin2x0时，f(x)（3）如果f(x)12（2）错

32，则sin2x()|x|123

22sinx1()|x|，显然“”不成立3

（3）错

2（4）当x0时，sin2x0最小，且()|x|13

11f(x)0122

1最小值为（4）对2

综上，只有（4）正确

例9.某工厂有一段旧墙长14m，现利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2

a的厂房，工程条件是（1）建1m新墙的费用为a元；（2）修1m旧墙费用是4元；（3）拆去1ma旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为2元。经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段xm（x

分析：利用旧墙为一面矩形边长为xm，则矩形的另一面边长为126m。x

解：（1）利用旧墙的一段xm（x14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为 aa元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)元，其余新墙的费用422126为(2x14)a元，故总费用为x x14x2126x36yaa(2x14)a7a(1)（0x14）42x4x

x

y7a[2当且仅当x361]35a4x

x36，即x12m时，ymin35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用旧墙的一面矩形边长x14，则修旧墙的费用为14a元，42

2126建新墙的费用为(2x14)a元，故总费用为x

721267126ya(2x14)aa2a(x7)（x14）2x2x

x 14

设14x1x2，则(x1xx126126126)(x2)(x1x2)12x1x2x1x2

14x1x2

x1x20，x1x2126

126在[14，)上为增函数x

7126x14时，ymina2a(147)355.a214

yx

综上，采用方案（1）利用12m旧墙为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元。

【模拟试题】

一.选择题：

1.二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(a)f(0)，则实数a的取值范围是（）

A.a0

B.a0 D.a0或a4

C.0a4

2.设f(x)是R上的奇函数，当x(0，)时为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x1)0的解集为（）

A.(，1)(1，)

C.(，1)（0，1）

B.(，0)(1，2)

D.(1，0)(0，1)

x

3.将函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位，得到y=2的图象，则（）

A.f(x)2x22

xB.f(x)2x22

x2f(x)2

2C.x2f(x)22 D.4.已知函数f(x)的图象与g(x)21的图象关于点（0，1）对称，则f(x)=（）

A.23 x

1()x32B.1()x1D.2

C.21 x

1x()（x0）f(x)2x2（x0）

5.已知函数，给出代号为a,b,c的三个图象，再给出序号为1，2，3的三个函数，那么图象与函数能建立对应关系的是（用序号和代数表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a2

B.a

1C.a2

D.a3

b1b2c3 c3

b3b2c1 c1

6.已知某林场森林积蓄量每年平均比上一年增长10.4%，经过x年可增长到原来的y倍，则函数yf(x)图象大致为（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空题：

7.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x3)f(x3)，则f(3)f(6)=____。

8.设定义在R上的函数y=f(x)，在（0，2）上是减函数，且yf(x2)为偶函数，则51f(3)，f()，f()22的大小顺序为____________。

9.函数yf(|x3|)的图象关于_____________对称。

10.建一个容积为8000m，深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元/m2，池底造价为2a元/m2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为3___________，底边长为________m时，总造价最低是___________元。

三.解答题：

11.如图，A、B、C、D为四个村庄，恰好座落在边长为2km的正方形顶点上，现修公路网，它由一条中心路和4条支路组成，要求四条支路长度相等。

（1）若道路网的总长不超过5.5km，试求中心路长的取值范围；

（2）问中心路长为何值时，道路网的总长度最短。

A B 中 心 路 C D

【试题答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（f(x)是R上的奇函数

令x3

令x0

f(3)0）

f(0)0

f(6)f(0)0 f(3)f(3)f(3)

15f()f(3)f()22

8.9.x3

10.y12a(x80008000208000)a，x(0，)，x3，16030aa6x333

11.设中心路长为2x km

22（1）则2x41(1x)55.48x40x70

17x412

222

（2）y2x41(1x)(平方)12x(4y32)x32y0

x(0，)又y0

0y323317[，]„„3412 ymin323，此时x1

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