考研辅导线性代数第1章行列式_线性代数第一章行列式

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考研辅导《线性代数》教案-1

第一章 行列式

◆ 基础知识概要

1.n阶行列式的定义

二阶行列式

a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32a11a22a12a21.三阶行列式.a13a23a33a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.对角线法则：

n阶行列式的定义

a11a12a1naa22a2nD21an1an2anntj1,j2,,jn1at1j1a2j2...anjn, 它是取自不同行不同列的n个数的乘积a1j1a2j2...anjn的代数和（共n!项），其中各项的符号为1，t代表排列j1,j2,,jn的逆序数，简记为detaij.n阶行列式也可定义为D1tai1ai2...ain，其中t为行标i1,i2,,in排

i1,i2,,in12n列的逆序数.例1.1 计算行列式

1（1）2；

n1（2）2.n-1

考研辅导《线性代数》教案-1 a11Da21an1a12a22an2a1ia2iania1na11a21an1a12a22an2a2nannia1na1ia2na2annani.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第i,j两行（或列），记作riri（或cicj）；（2）第i行（列）提出公因子k，记作rik（或cik）；

（3）以数k乘第j行（列）加到第i行（列）上，记作rikrj（或cikcj）.范德蒙（Vandermonde）行列式

1x1Vnx12x1n11x22x2n1x21x32x32xixj xn1jin1xnn1n1x3xn注 右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式

111112D25213122

练习：计算行列式

3133.（答：）42131125134（1）D；（答：40）

20111533-3

考研辅导《线性代数》教案-1 Dai1Ai1ai2Ai2ainAinaikAiki1,2,,n，k1n或

Da1jA1ja2jA2janjAnjakjAkjj1,2,,n.k1n注：此定理的主要作用是——降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即

nDai1Aj1ai2Aj2ainAjnaikAjk0ij，k1或

Da1iA1ja2iA2janiAnjakiAkj0ij.k1n例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.12例1.4 设A3413422141，求

1206（1）A122A223A324A42；（2）A312A32A34.解（1）A122A223A324A42a12A12a21A22a31A32a41A420.（2）因为Aij的大小与元素aij无关，因此，12A312A32A3414 练习： 132221141401106411222141303212140.0142606-5

考研辅导《线性代数》教案-1 D1i1i2ikniiiiiiA12kAc12k.j1j2jkj1j2jki1i2iki1i2ikAAc.jjjjjjkk1212类似地，任意选定k行1i1i2ikn，则

D证（略）

1j1j2jkn注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式

1201D1001中取定1，2行，得到6个子式

121341 311,2121,21A1，A1,2011,302121,21,2A5，A2,3122,41对应的代数余子式分别是

11,2142，A1，21,40141,2146，A7.13,4211,21212Ac11,21,21214Ac11,4133011,212241Ac12,40由Laplace展开定理可知

1,21213038，Ac13，1111,311,21223131，Ac11，3012,311,2123410，3Ac1.13013,4D1823115163717.例1.5 证明

考研辅导《线性代数》教案-1

◆ 行列式的计算举例

xaaaaxaa例1.6 计算n阶行列式Dnaaxa

aaax解法1

x(n1)aaaax(n1)ax(n1)axaarr0i1x(n1)aaxa0i2,3,nx(n1)aaax0n1DnC1Cii2,3,naxa00a0xa0a00 xa x(n1)axa解法2

0aa0xa0aaaxn0xaxaaa1.axaaaaaarir111i2,3,n11n1a000a0a0a000aDna1xaaxaaaaxaaaaxxa00xa00

1xan1①如果xa，则

11Dn111a0000a0000a0000a00000

n1②如果xa，则

1xnaaDnCC1xiaaxa000a0xa00aa000na)(xa)nxai2,3,n1000000xa0-9

000000

x1考研辅导《线性代数》教案-1 aaD2naccbdb00aac0bdbb(1)12nd00c 0d00dc00 adD2(n1)bc(1)2n11D2(n1)(adbc)D2(n1), D2n(adbc)D2(n1)(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2(adbc)n1acbd(adbc)n.解法2 利用Laplace展开定理，选定第1行和第2n行展开，则

D2n1j1j22n1,2n1,2nAAc

j,jj,j12121,2n1,2nAc 1,2n1,2nab12n12n 1D2n1

cd A adbcD2n1 (adbc)n1acb d (adbc)n.练习：计算n阶行列式

12（1）Dn2222222232222n；（答：2n2!）

a0111a10（2）Dn10a2100100，其中a1an1n11aaa（答：1 0；）n10ai1ian1-11；

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